高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
|x 3|8 0② 由①解得 x 3或x 5。
由②解得x 5或x 11 解：令2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 23，因此0 | x | 3，从而1)的定义域。
3}。
③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x的系数是m ,所以应分 m=0或m 0进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为 R ; 当m 0时，mx 6mx m 8 0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是m 0(6m)2 4m(m 8)0 m 1综上可知0 m 1。
评注：不少学生容易忽略kx 2 4kx 3 0无实数3① 当& 0时， 16k 2 4 3k 0恒成立，解得0 k4② 当k=0时，方程左边=3工0恒成立。
3综上k 的取值范围是0 k -。
4四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。
例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函 数的定义域。
1解：设矩形一边为 x ，则另一边长为 -(a 2x)于是可得矩形面积。
2J 八 12y x (a 2x) ax x2 2 2 1 x ax 。
2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足x 0 1(a 2x) 02 0 xa。
21 a 故所求函数的解析式为 yx 2 -ax ，定义域为(0,巳)。
2 2例8用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 已知函数f(x) kx 7 kx 24kx 解：要使函数有意义，则必须 kx 2 -的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
34kx 3工0恒成立，因为f (x)的定义域为R , 即x 0a 2x 02x ,故 y 2x L2xX2(2 -)x 2 Lx2根据实际问题的意义知2x 01(1 )当 a 0时，F ( x )的定义域为｛x| a x 1 a ｝；1(2) 当0 a 时，F (x )的定义域为｛x | a x 1 a ｝；1 1 (3)当a 或a 时，上述两区间的交集为空集，此时F (x )不能构成函数。
22六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10求函数y log 2( x 2 2x 3)的单调区间。
解：由 x 2 2x 3 0，即x 2 2x 3 0,解得 1 x 3。
即函数y 的定义域为(一 1, 3)。
函数y log 2( x 2 2x 3)是由函数y log 2t , t x 2 2x 3复合而成的。
2 2t x 2 2x 3 (x 1)2 4，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间(,1］上是增函数；在区间［1,)上是减函数，而 y log 2t 在其定义域上单调增；(1,3)(,1］ ( 1,1］,( 1,3) ［1,) ［1,3)，所以函数 y log 2( x 2 2x 3)在区间(1,1］上是增函数，在区间［1,3)上是减函数。
因为CD=AB=2x ，所以CD x ,所以ADL AB CD L 2x x故函数的解析式为(2尹LX ，定义域(0,五、参数型 对于含参数的函数，例9已知f(x)的定义域为］0, 1］,求函数F(x) 解： 的解集：求定义域时，必须对分母分类讨论。
因为f(x)的定义域为］0, f(x 1］,即0 x 1。
故函数 a) f(x a)的定义域。
F(x)的定义域为下列不等式组::，即即两个区间［—a , 1-a ］与］aa , 1+a ］的交集,比较两个区间左、右端点，知函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数数X的值域。
1••• X显然函数的值域是：(，0)(0,)例2.求函数y 3 X的值域。
解：•/ X 0..X 0,3 .. X 3故函数的值域是：【32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一例3.求函数y X2 2X 5,x [ 1,2]的值域。
解：将函数配方得：y & 1)2 4•/ X [ 1,2]由二次函数的性质可知：当X=1时，『min 4，当X 1时，y maX 8 故函数的值域是：[4 , 8]3.判别式法1 X X2例4.求函数y 1 X2的值域。
解：原函数化为关于X的一元二次方程(y 1)X2 (y 1)X0(1)当y 1时，X R(1)24(y 1)(y 1) 01 3解得：2 ' 21 □(2)当y=1 时，X 0，而》21 3故函数的值域为2,2例5.求函数y x ，x(2x)的值域。
2 2解:两边平方整理得：2x 2(y 1)x y 0(1)1•/ x R4(y 1)2 8y 0解得：12 y 1 .2但此时的函数的定义域由x(2 x) 0，得0x2由o ，仅保证关于x 的方程:2x2 2(y 1)x y2 0在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程(1)有实根，由 01 3 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2,2。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
•/ 0 x 2x(2 x) 00,y 1 -2代入方程(1)2 运 2\-'2 [02] X1 £ [0,2] 2 迈 24运即当x12 时，原函数的值域为：【0,1 4注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。
3x 4例6.求函数5x 6值域。
x g解:由原函数式可得：534 6y3则其反函数为：y 5x 3 ,其定义域为：％ 53故所求函数的值域为：，55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。
e x 1例7.求函数y 厂的值域。
e x 以解：由原函数式可得：y 1x.e 0y xymin解得:口 0y i解得：1 y 1故所求函数的值域为（1,1）COSX例8.求函数'sinx 3的值域。
解：由原函数式可得：『前乂 cosx 旳,可化为:y 21 si nx(x)3y sin x(x )-3y 即y 2 1•/ x Rsinx(x )[1,1] 1 3y1即，y 2 1V2J2解得：V y T故函数的值域为T ，T6. 函数单调性法例9.求函数y 2X5 l og^x 1（2 x io ）的值域。
解：令y i 2x 5,y 2 log 3 - x 1则y 「y 2在［2，10］上都是增函数 所以y y 1 y 2在［2，10］上是增函数 当 x=2 时，ymin 2 当 x=10时，y max 251 ,33故所求函数的值域为：8例10.求函数y x 1 x 1的值域。
2解:原函数可化为：y x 1 x 1令y 1 x 1,y 2 x 1，显然小2在口，］上为无上界的增函数 所以y y 1，y 2在口 ］上也为无上界的增函数----- 1log 3 2 1 -8log 3、9 3322显然y 0，故原函数的值域为(0, 2]7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之 一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数y x x 1的值域。
解：令 x 1 t ，(t 0) 则 x t 2 121 23 ..y t 2 t 1 (t -)2-又t 0 ,由二次函数的性质可知 当 t 0 时，y min 1 当t 0时，y故函数的值域为[1,) 例12.求函数y x 2 j (x 1)2的值域。
解:因1即(x 1)2 故可令X所以当x=i 时，y y i y 2有最小值■■ 2 ,原函数有最大值•• 2x ,(x 1)20 1 1 cos , [0,]y cos ,1 cos 2sin cos-2si n(,0子 sin(、2sin(-)11.2 4故所求函数的值域为[0,12]x 3 x 例13.求函数y x 42x 2 1的值域。
1 2x ,, _ y — ------ — 解：原函数可变形为：2 1X1 x 21 x 22x . Q 2 可令x tg ,贝眉 1 x 2 sin2 ,1 x 2 cos例15.求函数y x 4 -5 x 2的值域。