苏教版七年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
平行与垂直（不分层）知识讲解
【学习目标】
1.理解“互相平行”“互相垂直”的概念；
2. 通过自主探究，深刻理解平行与垂直的两个基本事实，并能灵活运用；
3. 熟练地过一点画出一条直线的垂线或平行线，并会度量点到直线距离.
【要点梳理】
要点一、平行
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.
要点诠释：
（1）同一平面内的两条直线的位置:平行与相交.
（2）互相平行的两条直线永远没有公共点，两条相交直线有且只有一个公共点.
（3）互相重合的直线通常看做一条直线.
（4）两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
2.平行线的做法：
小学用直尺和三角尺画平行线步骤：一放、二靠、三移、四画. 如下图.
3.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
要点诠释：由基本事实可以推出下面的结论成立：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
要点二、垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互
⊥或AB⊥CD垂直于点O.
相垂直，记作a b
要点诠释：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定
AOC
90
CD⊥AB．
性质
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、平行线
1.平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？
【答案与解析】
解：如图，图中共有34个交点．
【总结升华】10条直线中有八条直线的位置已经确定，要使10条直线的交点最多，就要使剩下的两条直线与前八条直线均相交.
举一反三：
【变式】（2015春•鞍山期末）下列说法错误的是（）
A．无数条直线可交于一点
B．平行于同一直线的两直线平行
C．直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条
D．两条不相交的直线是平行线
【答案】D．
类型二、垂线
2．下列语句中，正确的有 ( ).
①一条直线的垂线只有一条．
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
③两直线相交，则交点叫垂足．
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).
A．点P到直线l的垂线的长度.
B．点P到直线l的垂线段.
C．点P到直线l的垂线段的长度.
D．点P到直线l的垂线.
【答案】C
3.（2015•裕华区模拟）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，则下列结论中不正确的是（）
A．∠AOF=45° B．∠BOD=∠AOC
C．∠BOD的余角等于75°30′ D．∠AOD与∠BOD互为补角
【思路点拨】根据垂线的定义和角平分线得出A正确；根据对顶角相等得出B正确；求出∠BOD 的余角得出C不正确；根据邻补角关系得出D正确．
【答案】C．
【解析】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠AOE=45°，
∴A正确；
夜∠BOD和∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC，
∴B正确；
∵∠BOD的余角=90°﹣15°30′=74°30′，
∴C不正确；
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD和∠BOD互为补角，
∴D正确；
故选：C．
【总结升华】本题考查了垂线、余角以及对顶角、邻补角的定义；熟练掌握角的互余和互补关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,
则∠EOF=_______.
【答案】130°．
【变式2】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.
【答案】
证明：如图，
∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
4.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）
A．A点B．B点 C．C点 D．D点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
举一反三：
【变式1】在同一平面内，
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
【变式2】点P为直线l外一点：点A、B、C为直线l上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离是 ( ) ．
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D.。