X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
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2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
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yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
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优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
Y(z) + a1[Z −1Y(z) + y(−1)]+L+ aN [Z −NY(z) + Z −( N−1)Y(−1) +L+ y(−N)] = b0 X(z) + b1[Z −1 X( z) + x(−1)]+L+ bm[Z−m X(z) + Z−(m−1) x(−1) +L+ x(−m)]
−1 −N −1 −m
X
第
例题
1.作 5 10题 描 LTI系 的 分 程 : 业－ ： 述 统 差 方 为 y(k) −3y(k −1) + 2y(k − 2) = x(k −1) − 2x(k − 2) 初 状 y(−2) =1 y(−1) =1: 激 为 (k) = ε (k)求: 始 态 , 励 f 1)系 的 zi (k), yzs (k), y(k),2)系 函 ， 画 系 框 统 y 统 数3 ） 出 统 图 4 如 始 件 y(0) =1 y(1) = 0如 求 ？ ） 初 条 为 , 何 解
(1+ a1Z + aN Z )Y(z) +Y1(z) = (b0 + b1Z +L+bmZ )X(z) D(z)Y(z) = N(z)X(z) −Y (z) X 1
设x(k)为因果序列，则
第
2、z域全响应
只与激励 有关
只与初始 状态有关
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N(z) Y1(z) Y(z) = X (z) − =Yzs (z) +Yzi (z) D(z) D(z) 3、z逆变换 y(k) = yzs (k) + yzi (k)
X
第
求解过程:
1、将差分方程变换到z域
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y(k) + a1 y(k −1) + L+ aN y(k − N) = b0 x(k) + b1x(k −1) + L+ bmx(k − m) y(−1), y(−2), Ly(−N) : 初值 y(k −1)ε (k) ↔ z −1Y(z) + y(−1) y(k − 2)ε (k) ↔ z−2Y( z) + z−1 y(−1) + y(− 2) −1 −N −k y(k − N)ε (k) ↔ z Y(z) + ∑ y(k)z k=−N
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X
X
第
例题
3.一 LTI离 系 具 非 初 状 ,当 入 1(k) = δ (k)时 个 散 统 有 零 始 态 输 f , 1k 系 全 应 : y1(k) = 2( ) ε (k) 统 响 为 4 1k 在 同 始 件 ,当 入 2 (k) = ( ) ε (k)时 相 初 条 下 输 f , 2 1k 1k 系 全 应 : y2 (k) =[( ) + ( ) ]ε (k) 统 响 为 4 2 求 统 h(k), H(z), 系 差 方 ， 画 系 框 系 的 统 分 程 并 出 统 图
4、系统函数
N(z) H(z) = D(z) Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
系统函数描述系统本身属性,与激励和初始状态无关 系统函数描述系统本身属性 与激励和初始状态无关. 与激励和初始状态无关 求解思路: 求解思路 差分方程 代数方程
Z反变换 反变换
h(k) ↔ H(z)
求解Y(z) 求解
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第四节 离散系统的z域分析法
差分方程的z变换求解法 差分方程的 变换求解法 系统框图的z变换求解法 系统框图的 变换求解法
X
ห้องสมุดไป่ตู้ 第
一．应用z变换求解差分方程 应用 变换求解差分方程
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描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
6 页
2.描 LTI系 述 统的 分 程 : 差 方 为 y(k + 2) + 3y(k + 1 + 2y(k) = f (k + 1 + 3 f (k) ) ) 励为 (k) = ε (k) f 激 始状 1 yzi (1 = 1 yzi (2) = 3 态) ) , 初 2) y(1 = 1 y(2) = 3 ) , 求: 系 的 统 全响 , 系 应 统函 ,画 框 . 数 出 图