一、薛定谔方程在 r 时的渐近解
具有能量为 E 的粒子在靶粒子的势场 U (r ) 中运动， U (r ) 只
与 r 的大小有关（辏力场的特点） ，其定态 Schrödinger 方程为
2 [k 2 V (r )] 0
（2－1）
ˆ 可对易，在它们的共同本征态中，三者可同时具有确 ˆ2 , L ˆ 与H L z
入射粒子的概率流密度（单位时间内通过垂直入射方向单位 面积的概率/粒子数） ：
i i 1* ikz ikz ikz ikz * 1 e ( ik ) e e ike Jz 1 1 2 2 z z k k (5) 1 1 v N ， 2
展开式中每一项称为一个分波，即 Rl (r ) Pl ( ) 为第 l 个分波，每 一个分波都是方程 2 [k 2 V (r )] 0 的解， l 0, 1, 2, 分 波分别称 s, p, d , 分波。
r ,t ln * r , t
2 k k f ( , ) v 2 2 f ( , ) 2 f ( , ) 2 2 2 r r r
也是散射波的粒子流密度，它表示单位时间内穿过垂直 径向的单位球面面积的粒子数，所以单位时间穿过球面积 dS 的粒子数是：
2．弹性散射（碰撞）和非弹性散射（碰撞）
弹性散射：入射粒子与靶粒子只有动能交换，内部结构状态 并无变化（此时体系的机械能守恒，本书只讲此 种情况） 。
非弹性散射：粒子内部状态有所改变（如原子的电离或激发， 核与粒子的激发） ， 系统的机械能部分地变成粒 子的内能。
二、散射截面
1. 散射中心：设靶粒子 A 的质量远大于入射粒子的质量，形成 所谓固定的散射中心，A 称为散射中心。
则
2 2 k V (r ) 0
因为在散射研究中总是在远离散射中心很远的地方观测 散射粒子，所以我们主要关心在 r 处 (r ) 的行为。设当 1 即 r 时， 粒子与散射中心 r 时 U (r ) 要比 更快 0 ， r （短程势） 相互作用势能 U ( r ) 趋于零。则波函数 (r ) 在 r 时的渐近 形式为：
2

z
入射方向
在§3.3 讨论过该方程，方程的一般解为：
(r , , ) Clm Rl (r )Ylm ( , )（没有 n ，因为 E 已知且连
续） ，因为势场 U (r ) 与 , 无关，且入射粒子束与 无关，故 波函数与 无关。即 Lz (r p) z 0 ，即 m 0 ，角动量垂直 z
为什么研究散射问题时，通常只限于势场作用范围外的散射波？
（1）在势场范围内求出被散射粒子的状态是极其复杂的。而 在势场之外，由于可推知渐近解的形式，比较容易处理。这 样，不必求出势场范围内的解即可求出散射截面。 （2）我们观察散射现象，收集被散射的粒子，由于实验手段
是宏观的，一般必在距离散射中心从微观上是无穷远的地方，
v 2 2 2 dn J r dS 2 f ( , ) dS v f ( , d N f ( , d r
（9）
2
与 q( , ) 的定义 （1） 式 dn q( , ) Nd 比较得 q ( , ) f ( , ) ， 即微分散射截面等于散射振幅绝对值的平方。
2
1） ， 它描写的入射束是每单位
eikr 体积内只有一个粒子。 2 f ( , ) 表示散射粒子出射的球 r
面波，它描述由于靶粒子作用出现的散射现象。因考虑的是弹 性散射， 故散射波的能量不变， 即波矢 k 的数值不变， 可证 （8）
2 k 式在 r 满足（7）式： 2 V (r ) 0 。
一、散射和碰撞（碰撞过程）
1. 碰撞过程： 一粒子向着另一个粒子入射， 经过相互作用 （非 接触力）又向远方离去的过程。
散射：一般来说，经碰撞后，粒子偏离了原来入射方向， 连续不断射来的粒子向不同方向散射出去。
在散射过程中，入射粒子的能量是已知的，由实验者控 制，散射后粒子的角分布与粒子间的相互作用 U ( r ) 有关 （ U ( r ) 决定了靶粒子的性质和结构） 。 通常总是对 U ( r ) 作出 假设，解定态薛定谔方程求角分布，再与实验结果比较，从 U ( r ) ，并进而了解靶粒子的性质与结构。 而了解
ikr e r 2、散射态 （Scattering state）： r , , e ikz f , r
在无穷远处波函数不为零的状态为散射态 。
（散射态边界条件）
散射态波函数不能归一化，能量可以连续取值，组成连续谱。
散射态问题中，势场和粒子的能量是已知的，求散射态的反射 系数、透射系数和相应的波函数以及角分布（散射截面）。

2
表示粒子被散射到各个方向概率的总和，称为总散射截面。
形象解释：在靶粒子处，垂直入射束有 q( , ) 大小的面积， 凡通过这个面积的粒子就应该散射到 , 方向单位立体角 内；如又取 Q 大小的面积，则通过这个面积的粒子全部被散 射，靶粒子的作用相当于这样一个靶面，截面单位用“巴 （barn） ”表示，1 巴＝ 1024 cm2 。

总之，在具体问题中，如能求解得 (r ) 解，得到在 r 处
eikr 1 2 e f ( , ) 的渐近形式并比较 的形式， 即 r r
ikz
求得散射振幅 f ( , ) ，进而可知 q( , ) 和 Q 。散射理论的任务 就是在给定 E 和 U ( r ) 后求 q 和 Q 。能严格计算散射截面的例子 不多，一般采用近似解法，分波法就是近似方法的一种。
J x, y 0
概率流密度=入射粒子流密度，这是因为每单位体积内只有一个 粒子。
在坐标系中
er 1 1 e e r r r sin
J r ,t 2i
2
散射粒子的概率流密度：
* i 2 * 2 Jr 2 2 2 r r i 1 2 f ( , ) ikr 1 ikr 1 3 2 r 2
1 1 1 dn T 2 dn ， N 2 ， q L ， 1 2 T LT Nd T L
所以 q( , ) 有面积量纲，故称为微分散射截面。 微分散射截面 q( , ) 与入射粒子、散射中心的性质以及 它们之间的互相作用等有关。 注意：在量子力学中，入射粒子的概率流密度的意义是单位
般讨论。
取散射中心为坐标原点， 用 U (r ) 表示入射粒子与散射中心 之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程为：

2
2
2 U E
（3）
其中 E ， —入射粒子的能量和质量。
令
k2
2 E
2

p2
2
（4） （5）
v
p


k
U (r )
V (r )
2
2
（6）
（7）
定值。取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴 是旋转对称轴。
1 2 1 1 2 2 r 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2 ˆ2 ˆ2 1 2 L 2 2 L 2 r 2 2 2 2 2 r r r r r r r r ˆ2 1 2 L r 2 2 (较好的选择!) 2 r r r
lm
常系数
轴。则（2－1）式 2 [k 2 V (r )] 0 的一般解可写为
Ylm , N lm Pl|m| cos e im

z
入射方向
(r, ) Cl Rl (r ) Pl (cos ) ，
l
i e ikz e ikr cos （2－2） ˆ 0 L z i i
2. 散射角：粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角 为 ，称为散射角。
d dS r2

z
单位时间内散射到面积元 dS 上的粒子数 dn dS ，而 1 dS dn 2 ，故 dn 2 d ，即：单位时间内散射到 , 方 r r 向 d 立体角内的粒子数 dn 应与 d 成正比，还与入射粒子 流强度（入射粒子流密度）N 成正比。
3. 定义 N：在垂直入射粒子流前进的方向取一单位面积 S0 ，单 位时间内穿过 S0 的粒子数就是入射粒子流强度 N。
即： dn q( , ) Nd ， q( , ) 是一个比例系数。
（1）
dn 4. 微分散射截面（角分布） ： q( , ) 是当一个粒子入射 Nd
时散射到 , 方向单位立体角内的概率与入射粒子的概率流 密度之比，其量纲为：
r 0 1、束缚态（Bound state ）： n r dV 2
（束缚态边界条件）
把在无限远处波函数为零的状态为束缚态。即粒子被限制在一 个有限的范围内运动。 一般来说，束缚态体系的波函数可以归一化，能级是分立能级 组成分立谱。 能量量子化是束缚态粒子的共同特性，是微观世界的特有现象。 束缚态问题中，势场是已知的，求束缚态的能级和相应的波函 数以及在外界作用下的量子跃迁概率。
时间内通过垂直入射方向单位面积的概率，它正是当单位时 间内只有一个粒子入射时的入射粒子流强度/密度。 dn 的意义 就是单位时间内散射到 , 方向 d 立体角内的概率。
5. 总散射截面： Q q( , )d d sin dq( , ) （2）
0 0
即在势场作用范围之外。因此计算势场范围以内的解也是不 必要的。散射截面正是势场作用范围外定义的。
散射态的边界条件（从物理上考虑得出）