2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
1/12第17讲：导数的概念及其运算一、课程标准1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2
，y＝1x的导数．
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.二、基础知识回顾1.导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0
处的导数，记作f′(x0
)．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0
))处的切线的斜率，过点P的切线
方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0
)．
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xαf′(x)＝αxα－1
续表基本初等函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlna
f(x)＝lnxf′(x)＝1x2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
2/12f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝1xlna
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)f（x）g（x）＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）g2（x）(g(x)≠0)．5.复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．三、自主热身、归纳总结1、知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是()
A.2x－y＋1＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0【答案】A【解析】、由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.2、函数f(x)＝2x＋cosx在点(π2，f(π2))处的切线方程为()
A.3x－y－π2＝0B.x－y＋π2＝0
C.3x－y－3π2＝0D.x－y－π2＝0
【答案】B.【解析】f(x)＝2x＋cosx，f(π2)＝π，f′(x)＝2－sinx，f′(π2)＝1，在点(π2，f(π2))处的切线方程为
y－π＝x－π2，即为x－y＋π2＝0.故选B.2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
3/123、设M为曲线C：y＝2x2
＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3π4，π，则点M
横坐标的取值范围为(D)
A.[－1，＋∞)B.－∞，－34
C.－1，－34D.－1，－34
【答案】D
【解析】、由题意y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是34π，π，则切线的斜率k的范围是[－1，0)，∴－1≤4x＋3<0，解得－1≤x<－34.故选D.
4、.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝0，则x0等于(A)A.1eB.eC.e2D.1【答案】A.【解析】f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0
)＝0，
得lnx0＋1＝0，∴lnx0＝－1，即x0
＝1e.故选A.
5、(多选)下列求导数运算正确的有()
A．(sinx)′＝cosxB.1x′＝
1
x2
C．(log3x)′＝13lnxD．(lnx)′＝1x
【答案】AD
【解析】因为(sinx)′＝cosx，1x′＝－1x2，(log3x)′＝1xln3，(lnx)′＝1x，所以A、D正确．6．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝lnxD．f(x)＝tanx【答案】AC【解析】选若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x；则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
4/12在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C.7、已知曲线f(x)＝xsinx＋1在点(π2，f(π2))处的切线与直线ax－y＋1＝0互相垂直，那么实数a的值为____．【答案】－1【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx，当x＝π2时，f′(x)＝1，∴a＝－1.8、在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2
＋6.5t＋10，则运动员的速
度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.【答案】－9.8t＋6.5－9.8【解析】、v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.9、(2019南通、泰州一调）若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．【答案】e－2【解析】、y′＝lnx＋1，由题意得(ln1＋1)·(lnt＋1)＝－1，所以t＝e－2.10、(2019常州期末）已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．【答案】1e
【解析】、设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有f（x0）＝bx0＋lnx0＝y0＝kx0，f′（x0）＝b＋1x0＝k，从而有bx0＋lnx0
＝
kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝1x0＝1e.11、(2019苏州期末）曲线y＝x＋2ex
在x＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
【答案】23
【解析】、由y＝x＋2ex，得y′＝1＋2ex，切点为(0，2)，切线斜率为3，切线方程为y＝3x＋2.切线与坐标轴
的交点为A23，0，B(0，2)，所以S△AOB
＝
12·23·2＝2
3.
四、例题选讲2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
5/12考点一、基本函数的导数例1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；
(2)y＝lnx＋1x；
(3)y＝cosxex.【解析】、(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.
(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.变式、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2
＋x
ex
；
(2)f(x)＝x3＋2x－x2
lnx－1
x2
；
(3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.【解析】、(1)f′(x)＝（2x＋1）ex－（x2＋x）ex（ex）2＝1＋x－x2
ex
.
(2)由已知f(x)＝x－lnx＋2x－1x2.∴f′(x)＝1－1x－2x2＋2x3＝x3－x2
－2x＋2
x3
.
(3)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，
∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.
变式2、已知f(x)＝ln2x－12x＋1，则f′(x)＝________.【答案】44x2
－1
.
【解析】、f′(x)＝
ln2x－12x＋1′＝12x－12x＋12x－12x＋1′