1
一道图形旋转的典型例题及其变式
典例 已知：如图1，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°.
求证： BE+FD=
EF

分析：可把△ADF绕点A旋转至图2所示位置则F′B=FD，再证△AF′E≌△AFD，则
EF′=EF，又E F′=BE+F′B=BE+FD所以，BE+FD=EF
.

证明：如图2，把△ADF绕点A顺时针旋转90，到△ADF′的位置.
∵AD=AB，∠DAB=90°
∴点B与D′重合
∵∠ABE+∠ABF′=180°，∴F′、B、E在一条直线上，即F′E=BE+DF
∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°
∴∠F′AB+∠BAE=45°，
∴∠F′AB=∠FAE=45°
又∵AF=AF′，AE=AE，∴△F′AE≌△FAE
∴EF=EF′，∴BE+FD=EF
点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整
体的.
本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。以本典例为
原型的中考题近几年出现很多，下面例举两道，供同学们学习参考。

变式1 （牡丹江市）已知：正方形ABCD中，45MAN，MAN绕点A顺时针
旋转，它的两边分别交CBDC，（或它们的延长线）于点MN，．
当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图3），易证BMDNMN．
（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图4），线段BMDN，和MN之间有怎样
的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当MAN绕点A旋转到如图5的位置时，线段BMDN，和MN之间又有怎样的数

(D')
F'
F
E

D

C
B

A

图2
2

量关系？请直接写出你的猜想．
解：（1）BMDNMN成立．
如图4，把AND△绕点A顺时针90，得到ABE△，
（证明过程与典例相同，所以略）。
（2）DNBMMN
点拨：本题是典例的变式，第（1）小题与典例完全相同；第（2）小题是在典例的基础
上，变换MAN的位置，如图5.
变式2 （甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．
（1） 证明： 如图6，
∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，
又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图6，
设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．
∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
点评：本题也是典例的一个变式题，不仅有正方形旋转的情形（正方形ABCD可绕点D旋转），
还隐含着三角形的旋转（△ADE绕点D旋转某一角度与△CDG重合）.第一小题是常规题，只
需找到相应的全等三角形即可证明，较易解决；第（2）小题是一开放探索题，可大胆猜想，细

M B
C

N

A D

图3
图4

图5

M
B
C

N
A
D

B
M
E
A

C
N
D

图6
3
心求证.