Abstract When each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations. Key Words Differential equation ； Exact differential equation ； Integrating factor ；
M ( x, y ) N ( x, y ) . y x
1.3 恰当微分方程的解法
方法 1 分式. 方法 2 不定积分法 利用关系式 凑微分法
（1.6）
利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微
M ( x, y )dx N ( x, y )dy du ( x, y )
由此，函数 u ( x, y ) 应适合方程组
用积分因子法解常微分方程
摘 要 当一个方程为恰当方程时，可以运用求解恰当方程的方法进行求解，因此非恰
当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤， 转化成恰当方程需要求解出积 分因子， 因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子， 从 而使微分方程的求解变得较简便. 关键词 微分方程 ； 恰当微分方程 ； 积分因子 ； 通解
M ( x, y )dx N ( x, y )dy du ( x, y )
则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）. 恰当微分方程（1.3）的通解就是
（1.4）
u ( x, y ) c,
这里 c 是任意常数.
（1.5）
定理1[2] 设函数 M ( x, y ) dx 和 N ( x, y )dy 在一个矩形区域 R 中连续且有连续的一 阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是
方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方 程称为偏微分方程. 方程
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d2y dy b cy f (t ), dt dt 2
dy dy y0 t dt dt
就是常微分方程的例子，这里 y 是未知数， t 是自变量.
General solution
自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的 一个重要的组成部分，在整个数学大厦中占据着重要的位置.本文通过运用求微分方程 的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解[1].
1.
1.1
恰当微分方程
常微分方程
联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分
y0
y
求 ( x y ) dx ( x 2 y ) dy 0 的通解. 这里 M x y , N x 2 y ,在 xy 平面上有连续偏导数，这时
2
M 1, y
因此方程为恰当微分方程. 方法 1（不定积分法）
N 1, x
现在求 u ，使它同时满足如下两个方程
通过对方程
N ' x dx ( y) N ( x, y)
关于 y 积分，解出 ( y ) ，从而可得 u M ( x, y )dx ( y ) 的达式，令

M ( x, y )dx ( y ) c
即得方程的通解. 如果对
u N ( x, y ) 关于 y 积分，同理可得方程的通解为 x
（1.1）
2
（1.2）
1.2
恰当微分方程
考虑一阶方程
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
（1.3）
这里假设 M ( x, y ) dx ， N ( x, y )dy 在某区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数.若 方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数 u ( x, y ) 的全微分，即
u M ( x, y ), x
u N ( x, y ) y
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对
u M ( x, y ) 关于 x 积分得 x
u M ( x, y )dx ( y )
两端关于 y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得
u M N dx ' ( y ) dx ' ( y ) N ( x, y ) y y x
N ( x, y )dx ( x) c
其中 ( x) 可类似于 ( y ) 求解的方法得到. 方法 3 公式法 方程的通解为
x y
或 其中 c 是任意常数[3]. 例1 解

2
x0 x
M ( x, y )dx N ( x0 , y )dy c
y0
x0
M ( x, y0 )dx N ( x, y )dy c
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