晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。

每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。

N 为原胞数。

考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。

简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。

不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。

复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。

在同一能带中k 和 ??k 态具有相反的速度：???????????????????????????????????????????????????????????????()()k k --=υυ 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 ??k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。

在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

因此满带电子不导电。

导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 ??k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。

在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。

由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。

在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。

本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。

本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。

在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。

在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。

V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。

它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。

但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ? 1017 cm ??。

是普通金属的10??。

Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。

近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为()k υq - 而且 ()()[]0=-+k k I υq 或 ()()k k I υq = 表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。

存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。

在任何时刻有：()()()[]{}()[]{}B k E B k E F k k I ⨯+=⨯+-===***υυυq q mq m q m q dt d q dt d 2 大括号内恰好是一个正电荷q 在电磁场中受的力。

价带顶电子的有效质量*m 为负值，所以在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q 、具有正有效质量*m 和速度()k υ粒子的电流。

这个假想的粒子称为空穴。

空穴的概念对于处理近满带导电问题非常方便。

2 费米面构造法哈里森费米面构造法 膺势法在某种程度上使近自由电子模型得到推广。

费米能级是电子占有态和未占有态的边界面。

哈里森（）提出如下自由电子模型构造费米面的方法：这个方法分成两步：第一步先画出自由电子的费米面(1) 利用()k n E 是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的广延图形。

(2) 用自由电子模型画出费米球。

(3) 落在各相同布里渊区的费米球碎片平移一倒格矢到简约布里渊区中的等价位置。

第二步由自由电子费米面过渡到近自由电子费米面必须注意下面事实：(1) 布洛赫电子与晶格周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，(2) 可以证明费米面几乎总是与布里渊区边界面垂直交截，(3) 晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化，(4) 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而不依赖晶格相互作用的细节。

(a) (b) (c) (d)图 二维自由电子费米面。

(a) 在广延布里渊区中分布在四个布里渊区中。

(b)第一布里渊区的量子态全部被电子填满；(c)第二布里渊区中碎块平移到简约区中。

(d) 第三布里渊区中碎块平移到简约区中。

图 第二布里渊区和第三布里渊区中的费米面。

晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化布里渊区边界处能带的斜率为零 由于能带()k E 在k 空间具有反演对称性，因此：()()k k -=E E ； kk -∂∂-=∂∂k E k E又因为()k E 是k 的周期函数。

周期为K h ，所以：()()h E E K k k +=； hk E k EK k k +∂∂-=∂∂ 在布里渊区边界上2/h K k =，根据上面两组公式有：22h h k E k E K K -∂∂-=∂∂； 22hhk E k E K K -∂∂=∂∂ 两式相加可得：02=∂∂hk EK 如果能带在布里渊区边界上简并，这个论证可能失效。

电子轨道、空穴轨道和开放轨道 在静磁场中，电子在垂直于磁场的平面上沿等能曲线运动。

费米面上的电子沿费米面上的一条曲线运动。

环绕被充满电子能态的轨道是电子轨道；环绕空态的轨道是空穴轨道，从一个布里渊区到另一个布里渊区运动而不封闭的轨道称为开放轨道。

处于近乎被充满的能带顶端的空轨道给出类空穴轨道，开放轨道对磁致电阻有重要影响。

图 空穴轨道、电子轨道和开放轨道。

3 德· 哈斯－范· 阿尔芬效应德· 哈斯－范· 阿尔芬效应 1930年德· 哈斯（De Hass ）和范· 阿尔芬（Van Alphen ）在低温下强磁场中研究了铋单晶的磁化率，发现磁化率随强磁场变化而呈现出振荡。

后来在很多金属中都观察到了类似的振荡现象。

分析表明，磁化率随磁场的倒数呈现周期性的变化。

这种现象称为德· 哈斯－范· 阿尔芬效应。

这种现象必须在低温下才能观测到，因为不希望电子的布居振荡被相邻能态的热布居平均化。

实验用的样品必须非常纯净，否则电子轨道的量子化由于碰撞而模糊。

德· 哈斯－范· 阿尔芬效应和金属费米面附近电子在强磁场中的运动相关，因而同金属费米面结构密切相关，已经成为研究金属费米面的有效方法。

二维自由电子模型 在绝对零度温度下，二维自由电子的能量为：()mk E 222η=k 的取值在k x -k y 平面内。

应用周期性边界条件可得k 的取值为：222111b b k N n N n += 波矢在k 空间的密度为S42π，S 为二维晶体的面积。

波矢0到k 范围内的粒子态总数为：22242ηπππmSE Sk =⨯ 由此可得二维自由电子气的能态密度为2ηπmS，与能量E 无关。

在垂直平面的强磁场中，能量本征值为一系列分立的的朗道能级：E n n =+⎛⎝⎫⎭⎪120ηω 二维自由电子气具有准连续的能谱，在垂直强磁场中，聚集为间隔为ηω0的分立能级，这种改变是量子态的重新组合，量子态的总数应该不变。

图 磁场中二维自由电子气的准连续能级和朗道能级因此每一个朗道能级是高度简并的，包含的量子态的数目等于原来准连续能谱中能量间隔为ηω0内的量子态数，因此朗道能级的简并度D 为：D mS qS B =⨯=πωπηηη20 由此可见，每一个朗道能级的简并度D 与外磁场B 成正比。

如果在某一磁场值B 0，恰好使?朗道能级上填满电子，而?????朗道能级上没有电子，即满足：λD N = 其中N 为总电子数。

此时费米能级为：()E F001=+λωη 磁感应强度的倒数为：10B qS N =λπη 全填满能级中的二维自由电子气系统的能量为：()D n D n ηηωωλλ000212121+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=∑ 图 朗道能级上电子的布居数随磁场的变化如果磁场变小到B 1，朗道能级的间隔减小，每一个朗道能级的简并度也减小，电子将填充到λ+1朗道能级上，因为每一个朗道能级能接纳的电子数就是它的简并度，λ+1朗道能级上电子的填充几率从0开始增加，二维自由电子气系统的能量不断增加，原来准连续能谱中能量小于λω++⎛⎝ ⎫⎭⎪1121η朗道能级的电子的能量被提升到朗道能级，系统的能量在λ+1能级上填充D 2个电子时达到极大值，λ+1能级上填充电子数超过D 2时，由于准连续能谱中高于朗道能级能量的电子要降低能量到朗道能级，因此系统的能量下降。

当磁场降低到恰好使λ+1能级上全部填满电子后，系统能量才停止下降。

当磁场继续减小时，电子开始填充λ+2朗道能级，系统能量开始新一个周期的增加和减小。

因此二维自由电子气系统的能量随外加强磁场周期性变化。

当B 1减小到使λ+1朗道能级完全填满时：()111B qS N=+λπη 因此从填满λ朗道能级到λ+1朗道能级磁场倒数变化为：∆111210B B B qS N q S F⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==ππηη 其中 S k N SF F ==πππ22 在绝对零度温度下，系统的磁矩为：B E M ∂∂-= 由于系统总能量随1B 周期性振荡，变化周期为2πq S F η，因此磁化率也随1B 周期性振荡，变化周期也为2πq S F η，这就是德· 哈斯－范· 阿尔芬效应的物理原因。

三维情况 在三维情况下，在外加强磁场沿z 方向时，自由电子能量本征值为：E n k mn z =+⎛⎝ ⎫⎭⎪+122022ηηω 在与磁场垂直的平面内轨道是量子化的。