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复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i²=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π<θ₁≤π ,Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ

1.定义法求积分:

定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1 zk

(k=1,2…

n)上任取一点k并作和式Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)= ∑f(𝑘)nk−1∆zk记

∆zk= zk- zk-1,弧段zk-1 zk的长度 δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0时,不论对c的分发即k的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为: ∫f(z)dzc=limδ 0∑f(𝑘)nk−1∆zk

设C负方向(即B到A的积分记作) ∫f(z)dzc−

.当C为闭曲线时,f(z)

的积分记作∮f(z)dzc

(C圆周正方向为逆时针方向)

例题:计算积分1)∫dzc 2) ∫2zdzc

,其中C表示a到b的任一曲线。

(1) 解:当C为闭合曲线时,∫dzc

=0. 3

∵f(z)=1 Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)=b-a ∴limn 0 Sn=b-a,即1)∫dzc=b-a. (2)当C为闭曲线时,∫dzc=0. f(z)=2z;沿C连续,则积分∫zdzc存

在,设k=z

k-1

,则

∑1= ∑Znk−1(k−1)(zk-zk-1) 有可设k=zk,则 ∑2= ∑Znk−1(k−1)(zk-zk-1)

因为Sn的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以 Sn= (∑1+∑2)= ∑k−1nzk(zk2−zk−12)=b2-a2

∴ ∫2zdzc

=b2-a2

1.2 定义衍生1:参数法:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入∫f(z)dzc得:

∫f(z)dzc= ∫udxc - vdy + i∫vdxc

+ udy

再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β) ∫f(z)dzc=∫f(z(t))z(t)́dtβα 参数方程书写:z=z0+(z1-z0)t(0≤t≤1);z=z0

+reiθ,(0≤θ≤2π)

例题1: ∫z2dz

3+i

0 积分路线是原点到3+i的直线段

解:参数方程 z=(3+i)t ∫z2dz3+i0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt10 =(3+i)3∫t2dt10 =6+263i 例题2: 沿曲线y=x2计算∫(x2+iy)dz

1+i

0 4

解: 参数方程 {

x=t

y=t2 或z=t+it2 (0≤t≤1)

∫(x2+iy)dz1+i0=∫(t2+it2)(1+2it)dt10 =(1+i)[∫(t2dt)dt10 + 2i∫t3dt10] =-16+56i 1.3定义衍生2 重要积分结果: z=z0+ reiθ

,(0≤θ≤2π)

由参数法可得: ∮dz(z−z0)n+1c=∫ireiθei(n+1)θrn+12π0dθ=irn∫e

−inθ

1+i

0dθ

∮dz(z−z0)n+1c

={2πi n=00 n≠0

例题1:∮dzz−2|z|=1 例题2:∮dzz−12|z|=1

解: =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法: 2.1 柯西-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析,则

对B内的任意一条封闭曲线有: ∮f(z)dzc=0

2.2定理2:当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关,仅

由积分路线的起点z0与终点z1来确定。 2.3闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C与

C1是D内两条正向简单闭曲线,C1在C的内部,且以复合闭路Γ=C+C1 5

所围成的多连通区域G全含于D则有: ∮f(z)dzΓ=∮f(z)dzc+∮f(z)dzc1=0

即∮f(z)dzc=∮f(z)dzc1

推论: ∮f(z)dzc=∑∮f(z)dzck

nk=1

例题:∮2z−1z2−zdz

c C为包含0和1的正向简单曲线。

解: 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交,互不包含的正向曲线c1和c2。 ∮2z−1z2−zdzc=∮2z−1z(1−z)dzc1+∮2z−1z(1−z)dz

c2

=∮1z−1+1zdzc1+∮1z−1+1zdzc2

=∮1z−1dzc1+∮1zdzc1+∮1z−1dzc2+∮1zdzc2 =0+2πi+2πi+0 =4πi 2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式):

定理2.2可知,解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关,即 ∫f()cd = ∫f()z1z0

d 这里的z1和z0积分的上下限。当

下限z0固定,让上限z1在B内变动,则积分∫f()z1z0

d在B内确定 6

了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f()z1z0

d 所以有

若f(z)在单连通区域B内解析,则函数F(z)必为B内的解析函数,且F(z) ́=f(z).根据定理2.2和2.4可得∫f(𝑧)z1z0d𝑧= F(z1) - F(z0).

例题:求∫zcosz10d𝑧

解: 函数zcosz在全平面内解析 ∴∫zcosz10d𝑧=zsinz|0i-∫sinz10d𝑧

= isin i+cosz|0i=isin i+cos i-1 =ie−1−12i+e−1+12i-1=e-1-1 此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法,但是要注意复变适合此方法的条件。 2.5柯西积分公式法: 设B为以单连通区域,z0位B中一点,如f(z)在B内解析,则函数f(z)z−z0

在z0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般

不为零。 取z0位中心,以δ>0为半径的正向圆周|z−z0

|=δ位积分

曲线cδ,由于f(z)的连续性,所以 ∫f(z)z−z0dzc=∫f(z)z−z0

dzcδ

=2πif(z0)

2.5.1定理:若f(z)在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单

闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有: f(z0)=12πi∮f(z)z−z0

dz

例题:1)∮

sin zzdz|z|=2 2)∮z

(9−z2)(z+i)dz

|z|=2

解:=2π isin z|z=0=0 解: =∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2 7

=2πiz9−z2|z=-i=π5 2.6解析函数的高阶导数:

解析函数的导数仍是解析函数,它的n阶导数为 f(n)(z0)=n!2πi∮f(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2…)

其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D. 例题:∮

ez

z5dz

c

C:|Z|=1

解:由高阶导数的柯西积分公式: 原式=2πi∙14!(ez)(4)|z=π2 =πi12 3.解析函数与调和函数:

定义:(1)调和函数:如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程: ∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0,则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析

函数,则u和v都是调和函数,反之不一定正确 (2)共轭调和函数:u(x,y)为区域内给定的调和函数,我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函

数。若v是u的共轭调和函数,则-u是v的共轭调和函数 关系:任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数;且虚部为实部的共轭调和函数。 3.1求解方法:

(1)偏积分法:若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的

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