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(新)安徽大学2013—2014学年第一学期《高等数学C(一)》 考试试卷 (A卷)及答案(张春杰)

安徽大学2013—2014学年第一学期 《高等数学C (一)》 考试试卷 (A 卷)(闭卷 时间 120分钟) 考场登记表序号__________________一、填空题 (每小题3分,共15分)1. 0x →时,函数ln(1sin )x x +是x 的____________阶无穷小量.2. 设曲线()y f x =过点(0,0),且当自变量在0x =处取得增量x ∆时,相应的函数值增量3()(0)y x x x ο∆=∆+∆∆→,则1lim ()n nf n→∞=______________.3. 若函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定,则0x dydx ==_____________. 4. 曲线2y =(1)x >的渐近线方程是_________________________.5. 若二元方程ln x y z x =,则全微分dz =____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6. 设有两个数列{}n x 与{}n y ,以下结论一定正确是的是 ( ) A .若lim 0n n n x y →∞=,则必有lim n n x →∞或lim 0n n y →∞=B .若lim n n n x y →∞=∞,则必有lim n n x →∞=∞或lim n n y →∞=∞C .若{}n n x y 有界,则必有{}n x 与{}n y 都有界D .若{}n n x y 无界,则必有{}n x 无界或{}n y 无界7.若函数211()arctanx f x ex-=,则0x =是其 ( ) A.连续点 B.无穷间断点C.跳跃间断点D.可去间断点8.设()f x 在0x 处取得极值,下列说法一定错误..的是 ( ) A .0x 可能是区间端点 B.0x 可能是()f x 的驻点C .0x 可能是()f x 的间断点 D.00(,())x f x 可能是曲线()y f x =的拐点9.设()f x 是 cos x e x -+的一个原函数,则下列各式中可能是()f x 的原函数的是 ( )A.cos x e x -+B.sin x e x -+ C .cos x e x -- D .sin x e x --10.设(),()f x g x 均在区间 [0,2]上二阶可导,(0)(0)0,(2)(2)1f g f g ====,且对任意 [0,2]x ∈,()0f x ''>,()0g x ''<记210()S f x dx =⎰,220()S g x dx =⎰则 ( )A .121S S <<B .211S S <<C .121S S <<D .211S S <<三、计算题(每小题 6 分,共 42 分)11.求极限11(4)6lim 56n nn n n ++→∞-++.12. 求极限24sin limx x tdt x →⎰.13. 计算2123I dx x x =-+⎰. 14. 计算2ln (1)xI dx x =-⎰. 15. 计算31-⎰.16. 解方程32(1)1dy y x dx x -=++,并求满足初始条件1(0)2y =的特解.17.计算二重积分DI =,其中{(,)|01,1}D x y x y x =≤≤≤.四、综合题(每小题9分,共18分)18. 设D是曲线lny x=及其切线xye=与x轴所围的平面图形,(1)求D的面积;(2)求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.19.设有幂级数11nn nx n∞=+∑(1)求其收敛域;(2)求常数项级数11 2nn n n∞=+⋅∑的和.五、证明题(每小题5 分,共10 分)20.证明0x >时,1arctan arctan 2x x π+=.21.设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,(0)0f ≠,且10()0f x dx =⎰,证明:存在(0,1)ξ∈使得()()0f f ξξξ'+=.安徽大学 2013 —2014 学年第一学期《高等数学 C (一)》(A 卷)考试试题参考答案及评分标准一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1.2或高; 2. 3 ; 3.2-; 4.1y x =+; 5.ln ln ln y y x x dx dy x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)6.D ; 7.D ; 8.A ; 9.C ; 10.C 三、计算题(每小题 6 分,共 42 分)11.解:11211(4)61366lim lim 566516nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭..............................................................6分 12. 解:2230433000sin 2sin 1limlim lim 422x x x x tdt x x x x x x →→→===⎰..................................................... 6分 13. 解:2222111123(1)22111I dx dx dxx x x d C ==-+-++==++⎰⎰⎰..................................................6分14.解:2ln 1ln (1)1x I dx xd x x ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭⎰⎰ 11111ln ln 1(1)11x dx x dx x x x x x x ⎛⎫=-+=-+- ⎪----⎝⎭⎰⎰ 11ln ln 1x x C x x-=-++- .............................................6分15.解:由定积分的性质知31112--==⎰⎰⎰ 令cos x t =,原式132122(2sin )2sin 3t dt t πππ==-=⎰⎰.........................................6分 16. 解:原方程可化为'32(1)1y y x x -=++,这是一个一阶线性非齐次方程,其 通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,即22344111((1))(1)(1)2dxdxx x y ex edx C x C x -++⎰⎰=++=+++⎰代入初始条件1(0)2y =,得0C =,故原方程的解为41(1)2y x =+ ......................6 分17. 解:令cos ,sin x r y r θθ==,则原式2sin 4012DI d rdr rπθθ==⋅=⎰⎰..............................................6分四、综合题(每小题9分,共18分)18.解: (1)依题意D 的面积为 10()1122y e eS e ey dy e =-=--=-⎰ ..................4分 (2)依题意,旋转体的体积为22211220011()()()2362y e e e V e dy ey dy πππππ-=-=-=-⎰⎰ ...................9分19.解:(1)依题意知,幂级数的收敛半径为2lim()111n n nR n n →∞+=⋅=++,而当1x =±时,幂级数11nn n x n ∞=+∑均发散, 故其收敛域为(1,1)- ........................................3 分(2)不难看出112nn n n ∞=+⋅∑是幂级数11n n n x +=∑在12x =时的常数项级数. 设幂级数的和函数为()S x ,(1,1)x ∈-,1111111()(1)n n n nn n n n n S x x x x x n n n∞∞∞∞====+==+=+∑∑∑∑, 而1100011111,()ln(1)11n x x x nn n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞∞∞∞--=========----∑∑∑∑⎰⎰⎰, 故 ()ln(1)1xS x x x=---, . 111()1ln 222nn n S n ∞=+==+⋅∑ ........ ............9 分 五、证明题(每小题5分,共10分)20.令1()arctan arctan F x x x=+则'222111()011F x x x x ⎛⎫=+⋅-= ⎪+⎝⎭+. 故 ()F x C =对 0x ∀>.令1x =,得2C π=,故1arctan arctan 2x x π+=. ......................5分 21.令()()F x xf x =,[0,1]x ∈. 由积分中值定理知,存在(0,1]c ∈,使得1()()0f x dx f c ==⎰.显然()F x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,(0)()0F F c ==.由罗尔定理知存在(0,1)ξ∈,使得'()0F ξ=,即()()0f f ξξξ'+= .......................5分。

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