空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
2
a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
AC
D' B'
C B
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
1)若 a b 0,则 a 0,c)
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
A' D A
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
注意：数量积不满足结合律即 （a b) c a (b c)
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
练习运算
课堂练习
1.已知 a 2 2 , b
2 ,ab
2,
2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假: