八年级【几何模型三角形轴对称】试卷（培优篇）（Word版 含解析） 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H． （1）求证：△DCE为等腰三角形； （2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长； （3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）22；（3）CE＝2GH，理由见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据题意可得∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝12∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝12∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角

形； （2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=2+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣

（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE，即CE=2GH 【详解】 证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝12∠ABC＝12∠ACB， ∵BD＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝12∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠CDE＝12∠ACB＝∠E， ∴CD＝CE， ∴△DCE是等腰三角形 （2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝2， ∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC， ∴∠HDC＝∠DCH＝45° ∴DH＝CH， ∵DH2+CH2＝DC2＝2， ∴DH＝CH＝1， ∵∠ABC＝∠DCH＝45° ∴△ABC是等腰直角三角形， 又∵点G是BC 中点 ∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG， ∵BD＝DE，DH⊥BC ∴BH＝HE＝2

+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝2

+1

∴1+2GH＝2

+1

∴GH＝22 （3）CE＝2GH 理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点， ∴BG＝GC， ∵BD＝DE，DH⊥BC， ∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝12BC﹣12BE+CE＝12CE， ∴CE＝2GH 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键. 2．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH． （2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】 定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可； （1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答； （2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答. 【详解】 解：定理证明： ∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC． ∵直线m是边BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

∴OA＝OB ∵OH⊥AB，

∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝5，

故答案为：5． 【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.

3．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点. (1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC，若2OA，4OB，

试求C点的坐标； (2)如图2，若点A的坐标为23,0，点B的坐标为0,m，点D的纵坐标为n，以

B为顶点，BA为腰作等腰RtABD.试问：当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253mn的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，E为x轴负半轴上的一点，且OBOE，OFEB于点F，以OB为边作等

边OBM，连接EM交OF于点N，试探索：在线段EF、EN和MN中，哪条线段等于EM与ON的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）作CQ⊥OA于点Q,可以证明AQCBOA，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C的坐标； （2）作DP⊥OB于点P，可以证明AOBBPD，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n为定值，从而可以求出结论2253mn的值不变为3. （3）作BH⊥EB于点B，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENOBGM，则

GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON). 【详解】 （1）如图（1）作CQ⊥OA于Q, ∴∠AQC=90°, ∵ABC△为等腰直角三角形， ∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO, 又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB, ∴AQCBOA(AAS),

∴CQ=AO,AQ=BO, ∵OA=2,OB=4, ∴CQ=2,AQ=4, ∴OQ=6, ∴C(-6,-2). (2)如图（2）作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°, ∵ABD△是等腰直角三角形， ∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°, ∴∠ABO=∠BDP, 又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°, ∴AOBBPD ∴AO=BP, ∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n, ∵A23,0,

∴OA=23,

∴m+n=23, ∴当点B沿y轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,

∴整式2253mn的值不变为3.

（3）12ENEMON

证明：如图（3）所示，在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并延长，交x轴于H.

∵OBM为等边三角形， ∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENOBGM,

∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,

∴BG=12EG,

∴EN=12EG,

∵EG=EM-GM, ∴EN=12(EM-GM),

∴EN=12(EM-ON).