第二学期第八次课
设A 是n 维酉空间V 内的线性变换,如果V 内的线性变换A *
满足∀
α,β∈V,有
(A α,β)=(α,A *
β)
则称A *
是A 的共轭变换. A *
为A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置.
共轭变换的五条性质: 1)E *=E 2)(A *
)*= A 3)(k A )*
=k A *
4)(A +B )*
=A *
+B *
5)(AB )*
=B *
A *
如果A *= A,则称A 是一个厄米特变换.
设A 是n 阶复矩阵,如果A '=A,则称A 是一个厄米特矩阵.
n 个复变量n 21x x x ，，
，⋯的二次齐次函数 ∑∑===n
i n
j j i ij x x a f 11 (ji ij a a =)
称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。

（酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）
如果A *A = A A *
,则称A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：）
命题 酉空间V 上的线性变换A 的不变子空间M 的正交补⊥
M 是共轭变换A *
的不变子空间.
证明 ∀
α∈M, β∈⊥M ,有
(α,A *
β)=(A α,β)=0 这表明A *
β∈⊥
M .
命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A*的属于特征值λ的特征向量.
证明按假设,有Aξ=λξ则
(A*ξ-λξ,A*ξ-λξ)=((A-λE)*ξ, A*ξ-λξ)
=(ξ,(A-λE)(A-λE)*ξ)
=(ξ,(A-λE)*(A-λE)ξ)
=(ξ,0)=0
从而A*ξ=λξ.
命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交.
证明设Aξ=λξ,Aη=μη则
λ(ξ,η)=(Aξ,η)=(ξ,A*η)=(ξ,μη)=μ(ξ,η)
必有(ξ,η)=0.
定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
证明对维数n做数学归纳法.
推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
命题厄米特变换的特征值都是实数.
证明若Aξ=λξ,则λξ=A*ξ=Aξ=λξ⇒λ=λ⇒λ是实数.
推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
定理 厄米特二次型f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形
,111n n n y y d y y d f ++=
其中n d d ,,1 都是实数.
证明 f 的矩阵A 是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=='n d d d
2
1D AU U 为实对角矩阵.令X=UY,即可.
（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）
数域K 上的n 维线性空间V 的任一满秩双线性函数f 都可以定义V 上的度量（以及一组基的度量矩阵n n j i ⨯=)),(f (G εε）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:
设A 是V 上线性变换,如果存在线性变换A *
,使 f(A α,β)=f(α,A *
β) ∀α,β∈V
则称A *
是A 的(关于f 的)共轭变换. 如果线性变换A 满足
f(A α,A β)=f(α,β) ∀
α,β∈V
则称A 为(关于f 的)正交变换.
在给定的基（度量矩阵为G ）下一个线性变换A （矩阵为A ）的共轭变换的矩阵
G A G A '=-*1，（这是因为f(A α,β)=f(α,A *β)⇒Y GA X GY )AX (*
'=',从而
*='GA G A ）
如果A 是正交变换，A 的共轭变换等于A
1
-。

(因为f(α,β)=f(A α,A β)=f(α,A *
A β)
故f(α,(A *
A -E )β)=0,由f 非退化知A *
A = E.).。