对抽象函数周期性的认识麻城实验高中 阮 晓 锋对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

可见周期函数是一类特殊的函数，下面就谈谈我对抽象函数周期性的认识。

几种特殊的抽象函数的周期：设函数()y f x =对定义域内任一实数x 满足：（1）()(x)f x T f ±=(T ≠0），则T 是函数()y f x =的一个周期，且kT （k єZ)也是其周期 推论：若(+)=(+)f x a f x b ，则T=b-a 是函数()y f x =的一个周期。

（2)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 推论：若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是 以)(2b a T +=为周期的周期函数。

(3）()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（5）1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（6）()+1(+)=()-1f x f x a f x ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（7）1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（8）1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.（9）若函数f(x)有一条对称轴x=a 和一个对称点(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且 其中一个周期为T ＝4|a －b|推论：若奇函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），则其周期为4T a =。

（10）若函数f(x)有两条对称轴x=a 和x=b （a≠b ），那么该函数一定为周期函数，且其中 一个周期为T ＝2|a －b|推论：若偶函数()f x 满足)()(x a f x a f -=+，则其周期为2T a =.(11)若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c)，那么该函数一定为周期函数，且其中一个周期为T ＝2|a －b| (12)若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则认识：1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：①是对定义域中任意的x恒有()()f x T f x+=;②是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

3.要注意函数变化后的对称性周期性条件要永远把握住“同号看周期，异号看对称”这一句话，结合前面的结论，便可以解决这一类问题。

只要题目当中给出F[f(x+a),f(x+b)]=0,那基本上都是间接告诉你该函数的周期；若给出F[f(x+a),f(-x+b)]=0，那基本上也是间接告诉对称性的。

这就需要我们对给出的条件进行化简，使之变成与周期性和对称性有关的式子。

一般的方法是在f(x+a)与f(x+b)中的x同时加上a-b，多化简几步，自然就能化简出来。

如：函数f(x)对任意x满足f(x+2)=1()f x。

这条件是同号的，铁定跟周期性有关，这就需要我们对其进行化简，同时在括号里加上2得到：f(x+4)=1(+2)f x=f(x)，说明该函数是以4为周期。

又如：f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)。

这条件也是同号的，也是和周期有关。

我们对括号里的同时加上2得到：f(x+4)(1-f(x+2))=1+f(x+2)，将f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))带入化简得到：f(x+4)=-1/f(x),还是没有得到我们想要的结果，那就进一步对括号里的同时加上4，得到：(x+8)=-1/f(x+4)=f (x)。

说明还是是以8为周期。

4.分段函数的周期：设)(xfy=是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfy= []abTbax-=∈,,。

把它平移kT个单位即按向)()0,(xfykTa==平移，即得在其他周期的图像，且其结系数为[]bkTakTxkTxfy++∈-=,),(。

故[][]⎩⎨⎧++∈-∈=bkTa,kTx)(ba,x)()(kTxfxfxf例1：定义在R上的非常数函数满足f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x) 一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f例3.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++解：由)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n 得1211+1+3===-2-31-1-3a a a∴2321+1+(-2-3)3===-1-31-(-2-3)a a a ∴34331+(-)1+3===2-31-31-(-)3a a a ∴45141+1+(2-3)===3=1-1-(2-3)a a a a故数列{}n a 以4为周期.1997951a a a a ====∴ ，由4)1(11997⨯-+=n 得总项数为500项， .350050011997951=⨯=++++∴a a a a a例4.设函数)(x f 对任意实数x 满足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x),且f(0)=0 试判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称则由函数的性质得f(X)是以10为周期的函数.∵在一个周期区间[)10,0上f(0)=0,f(4)=f(2-2)=0∴)(x f 图象在一个周期区间[)10,0上与x 轴至少有2个交点. 而区间[-30,30）上有6个周期故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.附练习题：1.设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数3.已知()113xf x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（ ）. A.17-B.17C. 35-D.33、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且f(0）=2005，g(x)=f(x-1）是奇函数，则g(2005)的值为4.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －21x ，则f (8.6 ) = _______5.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间 ),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.练习提示：1.D2.A3.填20054.填0.35.为2()=,(-2)kf x x x k I∈。