黄陵中学高新部2020-2021学年度高三文科数学试题考试时间120分钟,分值150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知a 为实数,若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数,则a ＋i2 0201＋i＝( )A.1B.0C.1＋iD.1－i2.下列命题中错误的是.A 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题.B 命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.C 若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题.D 00,x ∃>使“0x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件3.已知定义在R 上的奇函数f (x )有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0,当－54≤x ≤0时,f (x )＝2x ＋a ,则f (16)的值为( )A.12B.－12C.32D.－32 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＋a 3＝52,a 2＋a 4＝54,则S na n＝( )A.4n －1B.4n －1C.2n －1D.2n －15.等差数列{}n a 中,135114a a a =+=，,则数列{}n a 的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.46.函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为( )A. B.C. D.7.已知向量,a b 满足||1,a =||2b =,且a 与b 的夹角为60︒,则||=a b +( )A.7B.3C.5D.228.函数的图像可由函数的图像( )A.向左平移个单位得到B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到D.向左平移个单位得到9.ABC 中,角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,已知向量2cos c m a b B a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,()cos n a A =，,且m n ，共线,则ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭2,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,则下列判断正确的是() A.函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B.函数()f x 的图像关于直线512x π=对称 C.当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,函数()f x的最小值为D.要得到函数()f x 的图像,只需要2y x =将的图像向右平移6π个单位11.已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩,若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点,则实数a 的取值范围是( )A.()1,11,0e ⎛-⎫⎪⎝⎭ B.()1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.(){}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.(){}11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知平面向量,,a b c ,满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=,若对每一个确定的向量a ,记||c 的最小值为m ,则当a 变化时,m 的最大值为( )A.14B.13C.12D.1二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分。

13.将函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6π个单位长度得到sin y x =的图象,则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 14.函数2019()2020x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象过定点A ,则点A 的坐标为______. 15.已知函数2ln ()a xf x x x=-,对于12,[2,2020]x x ∈,且当21x x >时,恒有()()12210f x f x x x ->,则实数a 的取值范围为__________. 16.给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是1,2； ②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根,则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中,“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后为奇函数,则ϕ最小值是π12. 其中正确的结论是______三、解答题：(17题10分,其余都是12分,共70分)17.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=(1)求角C 的大小；(2)已知4b =,ABC ∆的面积为6,求边长c 的值.18.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位：吨),将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图的a 的值；(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由； (3)估计居民月用水量的中位数.19.已知向量(2sin 3)a x x =,(sin ,2sin )b x x =-,函数()f x a b =·. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边且()1f C =,1c =,23=ab a b >,求a ,b 的值.20.已知函数()xf x ae bx =-(a ,b 为常数),点A 的横坐标为0,曲线()y f x =在点A 处的切线方程为1.y x =-+(1)求a ,b 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时,2x e x >.21.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若射线4πθ=(0ρ>)与直线l 和曲线C 分别交于A ,B 两点,求||AB 的值.22.已知函数()211f x x x =--+. (1)解不等式()4f x ≤；(2)记函数()31y f x x =++的最小值为m ,正实数a ,b 满足a b m +=,试求1412a b +++的最小值.1-5 DBCDB 6-10 BAADD 11-12 CB13.2214.()2019,2021 15.(,24]-∞ 16.①17.【参考答案】(1)4π；(2)10. 【试题解析】(1)由二倍角的余弦公式把24sin4sin sin 222A BA B -+=+降次,再用两个角的和的余弦公式求cos()A B +,由三角形三内角和定理可求得cos C ,从而求得角C ； (2)根据三角形的面积公式求出边a ,再由余弦定理求E 边. 【详细解答】试题分析：(1)由已知得2[1cos()]4sin sin 22A B A B --+=+,化简得2cos cos 2sin sin 2A B A B -+=,故2cos()A B +=所以34A B π+=,因为A B C π++=,所以4Cπ.(2)因为1sin 2S ab C ⊥=,由6ABCS =,4b =,4Cπ,所以32a =,由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,所以10c =. 18.【参考答案】(1) 0.3a =； (2)36000；(3)2.04. 【详细解答】(Ⅰ)由频率分布直方图,可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)＝0.5×a+0.5×a ,解得a ＝0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ)100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36000. (Ⅲ)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25＝0.73＞0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21＝0.48<0.5 所以2≤x<2.5.由0.50×(x –2)＝0.5–0.48,解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.19.【参考答案】(1)单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【详细解答】解：(1)由2()2sin cos 2cos212sin(2)16f x a b x x x x x x π==-+=+-=+-；令, 得：36k xk ππππ-+,k Z ∈.()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)由(1)可得f (C )2sin(2)116C π=+-=即sin(2)16C π+=,0C π<<262ππ∴+=C ,可得：6C π=.由余弦定理：221cos 62a b abπ+-=,可得：2261a b =+-⋯⋯①ab =②,由①②解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩20.【参考答案】(1)1a =,2b =,极小值为22ln 2-；无极大值(2)证明见解析. 【详细解答】(1)由已知()0,A a 代入切线方程得1a =,()x f x ae b '=-,∴()01f a b '=-=-, ∴2b =∴()2xf x e x =-,()2x f x e '=-,令()0f x '=得ln 2x =,当ln 2x <时()0f x '<,()f x 单调递减；当ln 2x >时()0f x '>,()f x 单调递增； 所以当ln 2x =时,()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值(2)令()2xh x e x =-,则()2xh x e x '=-,由(1)知()min 22ln 20h x '=-> ∴()h x 在()0,∞+上为增函数 ∴()()010h x h >=>, 即2x e x >.21.【参考答案】(1)40x y +-=(0x ≠),2220x y y +-=；(2. 【详细解答】 (1)由82x t=+得0x ≠, 将8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)消去参数t ,得直线l 的普通方程为40x y +-=(0x ≠).由2sin ρθ=得22sin ρρθ=,将sin y ρθ=,222x y ρ=+代入上式,得2220x y y +-=, 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. (2)由(1)可知直线l 的普通方程为40x y +-=(0x ≠),化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=(2πθ≠), 当4πθ=(0ρ>)时,设A ,B 两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则A ρ=2sin4B πρ==所以|||A B AB ρρ=-== 本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于常考题.22.【参考答案】(1){}26x x -≤≤；(2)32【试题解析】(1)化简函数()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩,分段求解不等式,即可求出答案. (2)利用绝对值三角不等式求出最小值m ,再利用基本不等式,即可求出最小值.【详细解答】(1)依题意得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩, 因为()4f x ≤,所以124x x ≤-⎧⎨-≤⎩,或11234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩,或1224x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩,解得21x -≤≤-,或112x -<<,或162x ≤≤.所以26x -≤≤,即不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤.(2)()()()31212221223y f x x x x x x =++=-++≥--+=, 当且仅当()()21220x x -+≤,即112x ≤≤-时取等号.则3m =,3a b +=,因为0,0a b >>,126a b +++=, 所以()141141212612a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()41125612a b a b +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦13562⎡≥+=⎢⎢⎣,当且仅当()41212a b a b ++=++,且3a b +=,即1a =,2b =时取等号,所以1412a b +++的最小值为32.。