A , i j , a i 1 A j1ai 2A j 2 L a in A jn0, ij .A O A A OO B =B A BO BO A= AB O ( 1)mn A BB Oa1nOa1na2n1a2 n 1( 1 n ( n 1)2NN)an1Oan1Oa 1na 2 nKan1范德蒙德行列式：1 1 L 1 x 1 x 2L x nx 12 x 22Lx n 2x i x jMM1 j i nM x n 1x n 1Lx n 112n代数余子式和余子式的关系：Mij( 1)i j A ijA ij ( 1)i j M ijA11B11A 11B11nA n分块对角阵相乘： A, BAB, A11A22A nB22A 22B2222A B TA T C T 分块矩阵的转置矩阵：C DB TD TA11A21L An1A *AijT A 12A22 LAn2， A ij 为 A 中各个元素的代数余子式 .MMMA1nA2nLAnnAA * A * A A E , A *n 1A 11A,A .A*BA *分块对角阵的伴随矩阵：矩阵转置的性质：( A T )T A 矩阵可逆的性质：( A 1) 1 A( A ) n 2伴随矩阵的性质： A An 若 r ( A) nr ( A )1 若 r ( A) n 10 若 r ( A) n 11B 1 a1AB A 1 ( AB)T B T A T A T A ( A 1 )T ( A T ) 1 ( A T ) ( A )T ( AB) 1 B 1 A 1 A 11( A 1 )k ( A k ) 1 A kA( AB) B A An 1( A1) ( A )1 A( Ak) ( A )kA AAB A B A k AkAA A A A E （无条件恒成立）1 1 1 1a1 a1 a3a2 1 a2 1a2 a 2 a3 1 a3 1a3 a1矩阵的秩的性质：① A O r ( A) ≥1; A O r ( A) 0 ;0≤ r ( A m n ) ≤ min( m, n)④若A m n , B n s ,若r( AB) 0r ( A) r ( B) n的列向量全部是Ax的解B 0⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B)⑥若 P 、Q可逆，则 r ( A) r (PA) r ( AQ) r ( PAQ) ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 .Ax 只有零解⑦若 r ( A m n ) n r ( AB) r ( B)；在矩阵乘法中有左消去律AB O B OA AB AC B C若 r ( B n s ) n r ( AB) r ( B)在矩阵乘法中有右消去律 . B若 ( ) 与唯一的E r O 等价，称E r O等价标准型 .⑧为矩阵的r A r A O O O O A⑨r ( A B) ≤ r ( A) r (B) , max r ( A), r ( B) ≤r ( A, B)≤r ( A) r (B)⑩A O O A ( ) ( ),A C ( ) ( ) rB B Or A r B rBr A r B O O标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为 1.与正交( , ) 0 .记为：Tn④ 向量a1 ,a2 ,L ,a n ( , )a i2 a12 a22 L a n2的长度i 1⑤是单位向量( , ) 1. 即长度为 1的向量.内积的性质：①正定性②对称性③线性性ntr A ，tr A称为矩阵A的迹.A 1 2 L n1i特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵 A 的特征方程 A E 0 ，求出特征值i .(2) 根据 ( A i E) x 0 得到A对应于特征值i 的特征向量.设 (A i E) x 0 的基础解系为1, 2 ,L n r i , 其中 r i r ( A i E) .则 A 对应于特征值i 的全部特征向量为k1 1 k2 2 Lkn r i n r i,其中 k1, k2 ,L , k n r为任意不全为零的数.i3. A 与 B 相似P 1 AP B （ P 为可逆矩阵）A 与B 正交相似P 1 AP B （ P 为正交矩阵）A 可以相似对角化 A 与对角阵相似 . （称是 A 的相似标准形）7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵 A 可对角化 ( 即相似于对角阵 ) 的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 .这时 , P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1 AP 为对角阵,主对角线上的元素为 A 的特征值.设i 为对应于i的线性无关的特征向量 , 则有：1P 1AP 2 .On② A 可相似对角化n r ( i E A) k i，其中k i为i 的重数 A 恰有 n 个线性无关的特征向量.注A 可相似对角化i的重数 n r ( A) Ax 基础解系的个数 .○：当i 0 为A的重的特征值时，③若 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值 A 可相似对角化.正交矩阵AA T E③ 正交阵的行列式等于 1 或 -1 ；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化1,2,3线性无关,1 1正交化单位化：2 23 3111( 2,1)( 1, 11)( 3 , 1 ) ( 3 , 2 )( 1, 1 ) 1 ( 2 , 2 ) 22 32 32 3a 11 a 12 L a 1nx 1nna 21 a 22 La2 nx 21.二次型f (x 1, x 2 ,L , x n )a ij x i x j (x 1 , x 2 , L , x n )L LL L Li 1 j 1an1an 2Lannx n其中 A 为对称矩阵， x( x 1 , x 2 ,L , x n )TA 与B 合同C T AC B . （ A, B 为实对称矩阵 ,C 为可逆矩阵 ）求 C (A I) → (B C^T)这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换最后 求得 C 和 C^T正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数④ 两个矩阵合同 它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤ 两个矩阵合同的充分条件是： A 与 B 等价⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：r ( A) r (B)正交变换nx T Ax 经过22. f ( x 1 , x 2 ,L , x n) 合同变换 xCy 化为 fd i y i 标准形 .可逆线性变换1正交变换法x T Axr p配方法（ 1）若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（ 2） 若二次型中不含有平方项，但是a ij 0 ( i j ), 则先作可逆线性变换x i y i y jx j y i y j k 1,2,L , n且 k i , j ,x k y k3. 正定二次型x1, x2 ,L , x n不全为零， f ( x1 , x2,L , x n ) 0 .正定矩阵正定二次型对应的矩阵 .4. f ( x) x T Ax 为正定二次型（之一成立）：（ 1）x ， x T Ax 0 ；（2）A的特征值全大于0；（3）f的正惯性指数为n；（4）A的所有顺序主子式全大于0；（ 5）A与E合同，即存在可逆矩阵 C 使得 C T AC E ；（ 6）存在可逆矩阵P ，使得 A P T P ；A可逆r ( A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为 0Ax 只有零解x ，AxA 0R n , Ax 总有唯一解T是正定矩阵A AA EA p1 p2 p s p i是初等阵存在 n阶矩阵 B,使得 AB E 或 AB EA不可逆r ( A)nA 0A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax有非零解 , 其基础解系即为 A关于0的特征向量。