2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】 专题28.1锐角三角函数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020•河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）

A．512 B．125 C．513 D．1213

【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【解析】如图所示： ∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB=√5

2+122=13，

∴sinB=𝐴𝐶𝐴𝐵=1213． 故选：D．

2．（2019秋•玉环市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，cosA=45，则AC的长为（ ）

A．125 B．165 C．203 D．5

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】如图所示： ∵∠C＝90°，AB＝4，cosA=45， ∴cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶4=45， 故AC=165． 故选：B． 3．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，那么下列说法中正确的是（ ）

A．cosB=13 B．cotA=13 C．tanA=2√23 D．cotB=2√23

【分析】利用同角三角函数的关系解答．

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，则cosA=√1−𝑠𝑖𝑛2𝐴=√1−19=2√23 A、cosB＝sinA=13，故本选项符合题意．

B、cotA=𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐴=2√2313=2√2．故本选项不符合题意．

C、tanA=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴=132√23=√24．故本选项不符合题意．

D、cotB＝tanA=√24．故本选项不符合题意．

故选：A． 4．（2018秋•枞阳县期末）在△ABC中，∠C＝90°，若cosA=13，则sinB的值为（ ）

A．13 B．23 C．√33 D．1

【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°， 则sinB＝cosA=13． 故选：A． 5．（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinα＝（ ）

A．23 B．√105 C．3√1010 D．√1010

【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值． 【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α， 则sinα=𝑎𝑐，tanα=𝑎𝑏，a2+b2＝c2， ∵tanα=13知， ∴可设a＝x，则b＝3x， ∴c=√𝑎

2+𝑏2=√10x．

∴sinα=𝑎𝑐=𝑥√10𝑥=√1010， 故选：D． 6．（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）

A．45 B．43 C．34 D．35

【分析】过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得． 【解析】如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，

则tan∠BAC=𝐵𝐷𝐴𝐷=34， 故选：C． 7．（2019秋•港南区期末）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（ ）

A．35 B．√74 C．45或√74 D．45或2√77

【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股

定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解． 【解析】当△ABC为直角三角形时，存在两种情况： ①当AB为斜边，∠C＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB=√𝐴𝐶

2+𝐵𝐶2=√82+62=10．

∴cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵=810=45； ②当AC为斜边，∠B＝90°， 由勾股定理得：AB=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√82−62=2√7，

∴cosA=𝐴𝐵𝐴𝐶=2√78=√74； 综上所述，cosA的值等于45或√74． 故选：C． 8．（2019•崇川区二模）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是（ ）

A．msin35° B．mcos35° C．𝑚𝑠𝑖𝑛35° D．𝑚𝑐𝑜𝑠35°

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

【解析】sin∠A=𝐵𝐶𝐴𝐵， ∵AB＝m，∠A＝35°， ∴BC＝msin35°， 故选：A． 9．（2017•费县模拟）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）

A．12 B．√55 C．√52 D．2√55

【分析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，易证△ADE≌△DCF，可得∠α＝∠CDF，DE＝CF．在

Rt△DCF中，利用勾股定理可求CD，从而得出sin∠CDF，即可求sinα． 【解析】过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，

∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，

∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，

即EF与l2，l3，l4都垂直，

∴DE＝1，DF＝2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， 又∵∠α+∠ADE＝90°， ∴∠α＝∠CDF， ∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°， ∴△ADE≌△DCF， ∴DE＝CF＝1， ∴在Rt△CDF中，CD=√𝐶𝐹

2+𝐷𝐹2=√5，

∴sinα＝sin∠CDF=𝐶𝐹𝐶𝐷=1√5=√55． 故选：B．

10．（2009•黑河）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinB

的值是（ ）

A．23 B．32 C．34 D．43 【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题． 【解析】连接DC． 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°． 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．

∴sinB＝sinD=𝐴𝐶𝐴𝐷=23． 故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2019•杭州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA=35，则斜边AB边上的高CD的长为

4825

【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=125，再利用勾股定理计

算出AC=165，然后利用面积法计算CD的长 【解析】作CD⊥AB于D，如图，

在Rt△ACB中，∵sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=35， ∴BC=35×4=125， ∴AC=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=165， ∵12CD•AB=12AC•BC， ∴CD=165×1254=4825， 即斜边上的高为4825． 故答案为：4825． 12．（2018•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ 4sinαtanα ．（用锐角α的三角比表示）

【分析】首先由已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，得出∠BCD＝∠A＝α，由直角△ACD求得CD，再由直角△BCD求出BD． 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠BCD＝∠A＝α， ∴CD＝AC•sinα＝4sinα， ∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα． 故答案为：4sinαtanα．

13．（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 1 ．

【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得． 【解析】如图所示，连接BC，