北京市西城区2013年初三一模试卷数 学 2013. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的相反数是A ．31-B ．31 C ．3 D ．3-2．上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心，该项目营业面积约130 000平方米，130 000用科学记数法表示应为A ．1.3×105B ．1.3×104C ．13×104D ．0.13×106 3．如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ．若∠1=25°，则BAF ∠的度数为 A ．15° B ．50° C ．25° D ．12.5°4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 A ．21B ．31 C ．61D ．1 5．若菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为 A ．5B ．6C ．8D ．10 6则该队队员年龄的众数和中位数分别是A ．16，15B ．15，15.5C ．15，17D ．15，167．由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体共有 A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个8．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF -FG 运动到点G 后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒），△APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y =x 的取值范围是 ．10．分解因式：32816a a a -+= ．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C=45°.若AD=2，BC=8，则AB 的长为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A (1,0)处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1； 第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2； 第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3； 第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4； ……依此规律进行，点A 6的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2013，2012）， 则n = ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：10345sin 2)13(8-+︒--+．14．解不等式组 4(1)78,25,3x x x x +≤-⎧⎪-⎨-<⎪⎩并求它的所有整数解．≤15．如图，点C 在线段AB 上，△DAC 和△DBE 都是等边三角形(1) 求证：△DAB ≌△DCE ；(2) 求证：DA ∥EC．16．已知3=y x ，求22222()x y x y xy xy y --÷-的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数错误!未指定书签。

32y x =-与反比例函数k y x =的图象在第二象限交于点A ，且点A 的横坐标为 ． (1) 求反比例函数的解析式；(2) 点B 的坐标为(-3,0)，若点P 在y 轴上， 且△AOB 的面积与△AOP 的面积相等， 直接写出点P 的坐标．18．列方程（组）解应用题：某工厂原计划生产2400台空气净化器，由于天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1200台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产10台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器． -219．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点OAC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．20．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 与⊙O 相切； (2) 若AE=6，sin ∠CFD=35，求EB 的长．21．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北．请根据以上信息解答下列问题：(1) 北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ；（结果精确到1%） (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）(3) 如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请 你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年．（填写年份）22．先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A 、B 、C 、D 均 为⊙O 上的点，则有∠C =∠D ．小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧， 则有∠D >∠E ．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,7)，点B 的坐标为(0,3)， 点C 的坐标为(3,0)．①在图1中作出△ABC 的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB =∠ADB ，则点D 的坐标为 ；(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,m )，点B 的坐标为(0,n )，其中m >n >0．点P 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式；(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B (0,-1)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4,n )． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；(3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．．．．北京市西城区2013年初三一模试卷数学答案及评分参考2013. 5三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=11223-⨯+. ………………………………………………4分 43． ………………………………………………… 5分14．解：由①得4x ≥． …………………………………………………………1分 由②得132x <． …………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是1342x ≤<． ………………………………… 4分 ∴ 它的整数解为4，5，6． ………………………………………… 5分 15. 证明：（1）如图1.∵△DAC 和△DBE 都是等边三角形，∴DA =DC ，DB =DE ， …………1分 ∠ADC =∠BDE =60º .∴∠ADC +∠CDB =∠BDE +∠CDB ， 即∠ADB =∠CDE . ……………2分 在△DAB 和△DCE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DB CDE ADB DC DA∴ △DAB ≌△DCE. ………………………………………… 3 分 （2）∵△DAB ≌△DCE ，∴ ∠A =∠DCE=60° . ……………………………………… 4分4(1)78253x x x x +≤-⎧⎪-⎨-<⎪⎩AB CDE图1∵∠ADC=60°， ∴ ∠DCE =∠ADC .∴DA ∥EC . ………………………………………………… 5分16. 解：原式=()()2()()2y x y x y x y xy x y -+-⋅- ..….….….…. …..…………..……………………2分 =2x y x+. ………………………………………………………… 3分 ∵3xy=， ∴ 3x y =. ∴ 原式=32233y y y +=⨯. ……………………………………………… 5分 17. 解：（1）∵正比例函数32y x =-的图象经过点A ，且点A 的横坐标为2-， ∴点A 的纵坐标为3. …………………………………………… 1分 ∵反比例函数k y x =的图象经过点A （2,3-），∴32k =-. ∴6k =-. … 2分∴6y x=-. ………… 3分 （2）点P 的坐标为9(0,)2或9(0,)2-. ……………………………… 5分18．解：设原计划每天生产空气净化器x 台. ……………………………………1分 依题意得 2400120024001.210x x +=⨯+. …………………………………… 2分解得40=x . …………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． ……………………… 4分答: 原计划每天生产空气净化器40台. ……………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）如图2.∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点∴OA = 12AC ，OB = 12BD . …………… 1分∵AC ︰BD =2︰3，∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x . ∵AC ⊥AB ， ∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. ……………… 2分∵AB =2， ∴(2x )2+22=(3x )2 . 解得x =±255(舍负).∴AC =2OA =855. …………………………………………………… 3分 （2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 455. ……………………… 5分20．（1）证明：连接OD . （如图3） ∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC . ∵AB =AC ， ∴∠ACB =∠B . ∴∠ODC =∠B . ∴OD ∥AB . …………………………………………………………… 1分∴∠ODF =∠AEF .∵EF ⊥AB ，∴∠ODF =∠AEF =90°.∴OD ⊥EF .∵OD 为⊙O 的半径，∴EF 与⊙O 相切. ………………………………………………2分 （2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .在Rt △AEF 中，sin ∠CFD =AE AF = 35，AE=6. ∴AF =10. ………………………………………………………………3分∵OD ∥AB ，∴△ODF ∽△AEF .∴AEODAF OF =. 设⊙O 的半径为r ，∴10-r 10 = r6 .解得r =154. …………………… 4分 ∴AB = AC =2r =152 . ∴EB =AB -AE = 152 -6= 32. ………… 5 分 21．解：（1）17%； ……………………………2分 （2）所补数据为21.7； ……………………3分补全统计图如图4； ………………… 4分 （3）2015． ………………………… 5分22．解：（1）①如图5；………………………… 1分图4yAFE OD C BA图3（2）点P的坐标为)0． ……………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而20a ≥， ∴2160a +>，即0∆>.∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分（2）解：∵当2ax =时，0y =， ∴22()(4)022a a a a ⨯++⨯+=. ∴230a a +=，即(3)0a a +=.∵0a ≠，∴3a =-. ………………… 3分 ∴抛物线1C 的解析式为22125232()48y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48--.∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-. ∴抛物线2C 的解析式为223y x =-. …………………………4分 （3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，∴223n m =-，且223m n =-. ∴222()n m m n -=-.∴2()()n m m n m n -=-+ ∴()[2()1]0m n m n -++=.∵A 、B 两点不重合，即m n ≠，∴2()10m n ++=. ∴12m n +=-. ……………………………………………………… 5分 ∵223m n =+，223n m =+，∴33222m mn n -+22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3().(3n m += ……6分 32=-. ………7分 24．解：（1）cos αPMN 周长的最小值为 3 ； ………………………2分 （2）分别将△P AB 、△PBC 、△P AC 沿直线AB 、BC 、AC 翻折，点P 的对称点分别是点D 、E 、F ，连接DE 、DF ，（如图6）则△P AB ≌△DAB ，△PCB ≌△ECB ，△P AC ≌△F AC . ∴AD =AP =AF ， BD =BP =BE ，CE =CP =CF .B11∵由（1）知∠ABC =30°，∠BAC =60°，∠ACB =90°， ∴∠DBE =2∠ABC =60°，∠DAF =2∠BAC =120°， ∠FCE =2∠ACB =180°.∴△DBE 是等边三角形，点F 、C 、E 共线. ∴DE =BD =BPEF =CE +CF =2CP =2. ∵△ADF 中，AD =AF，∠DAF =120°， ∴∠ADF =∠AFD =30°.∴DF.∴22210EF DF DE +==.∴∠DFE =90°. ………………………………………………………4分 ∵2ABC DBE DFE DAF BDAFE S S S S S ∆∆∆∆==++多边形，∴2112222ABC S ∆=++=∴ABC S ∆=. ……………………………………………5分 （3）∠APB =150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM ⊥DE 于M ，AN ⊥DF 于N .（如图7） 由（2）知∠DBE =2α，∠DAF =1802α-. ∵BD =BE=n ，AD =AF=m ， ∴∠DBM =α，∠DAN =90α-. ∴∠1=90α-，∠3=α. ∴DM =sin n α，DN =cos m α. ∴DE =DF =EF . ∴∠2=60°.∴∠APB =∠BDA =∠1+∠2+∠3=150°.25．解：（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，1-），∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点C （4，n ）， ∴34124n =⨯-=. ………………………………………………1分 321NMP A CD EB图7∵抛物线212y x bx c=++经过点C（4，2）和点B（0，1-），∴21244,21.b cc⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩解得5,41.bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为215124y x x=--. …………………………2分（2）∵直线l：314y x=-与x轴交于点A∴点A的坐标为（43，0）. ∴OA=43.在Rt△OAB中，OB=1，∴AB53.∵DE∥y轴，∴∠OBA=∠FED∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE.∴OA OB ABFD FE DE==∴45OAFD DE DEAB=⋅=，35OBFE DE DEAB=⋅=. …………………………………………4分∴p=2(FD+ FE)=43142()555DE DE⨯+=.∵D（t，215124t t--），E（t，314t-），且04t<<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t=----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t=⨯-+=-+. …………………………… 5分∵2728(2)55p t=--+，且75-<，∴当2t=时，p有最大值285. …………………………………… 6分（3）点A1的横坐标为34或712-. ……………………………………………8分说明：两种情况参看图9和图10，其中O1B1与x轴平行，O1A1与y轴平行.。