∵ 在 Rt△ BCD 中，∠ CBD＝90°，EC＝ED，
∴ BE＝ 1 CD＝CE． 2
令 y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴ A（﹣1，0），B（3，0）， ∵ C（0，﹣3）， ∴ OB＝OC， 又∵ BE＝CE，OE＝OE， ∴ △ OBE≌ △ OCE（SSS）， ∴ ∠ BOE＝∠ COE， ∴ 点 E 在第四象限的角平分线上， 设 E 点坐标为（m，﹣m），将 E（m，﹣m）代入 y＝x2﹣2x﹣3，
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线 y＝x2﹣mx﹣（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x1，0），与 x 轴正半轴交 于点 B（x2，0）（OA＜OB），与 y 轴交于点 C，且满足 x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点 B 为直角顶点，BC 为直角边作 Rt△ BCD，CD 交抛物线于第四象限的点 E，若 EC ＝ED，求点 E 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q，使得 S△ ACQ＝2S△ AOC？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由．
（3）设点 E 的横坐标为 m，表示出 E（m，2m+6），F（m， m2 2m 3），最后ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示
出 EF 的长，从而表示出 S 于 m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】 解：（1）∵ 抛物线 y ax 2 bx c 经过 A（－3，0），B（1，0），
得 m＝m2﹣2m﹣3，解得 m＝ 1 13 ， 2
∵ 点 E 在第四象限，
∴ E 点坐标为（ 1 13 ，﹣ 1 13 ）；
2
2
（3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，则 S△ ACQ＝S△ ACF．
∵ S△ ACQ＝2S△ AOC， ∴ S△ ACF＝2S△ AOC， ∴ AF＝2OA＝2， ∴ F（1，0）． ∵ A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴ 直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3． ∵ AC∥ FQ， ∴ 设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+b， 将 F（1，0）代入，得 0＝﹣3+b，解得 b＝3， ∴ 直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3．
y x2 2x 3
联立
，
y 3x 3
解得
x1 y1
3
，
12
x2 y2
2 3
，
∴ 点 Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析
式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角
（1）求该抛物线的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求△ PBC 周长的最小值； （3）如图（2），若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，△ ADF 的面积为 S． ①求 S 与 m 的函数关系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐 标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
2．如图，已知抛物线 y ax 2 bx c 经过 A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点， 其顶点为 D，对称轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H．
【答案】（1） y x2 2x 3 . （2） 3 2 10 . （3）① S m2 4m 3 .
②当 m=﹣2 时，S 最大，最大值为 1，此时点 E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】 （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可. （2）根据 BC 是定值，得到当 PB+PC 最小时，△ PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应 线段的长即可.
（2）连接 BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 BE＝ 1 CD＝CE．利 2
用 SSS 证明△ OBE≌ △ OCE，得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角平分线上，设 E 点 坐标为（m，﹣m），代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 m 的值，即可得到 E 点坐标； （3）过点 Q 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F，连接 CF，根据三角形的面积公式可得 S△ ACQ＝ S△ ACF．由 S△ ACQ＝2S△ AOC，得出 S△ ACF＝2S△ AOC，那么 AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定 系数法求出直线 AC 的解析式为 y＝﹣3x﹣3．根据 AC∥ FQ，可设直线 FQ 的解析式为 y＝﹣ 3x+b，将 F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线 FQ 的解析式为 y＝﹣3x+3，把它与抛
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 点坐标为（ 1 13 ，﹣ 1 13 ）；（3）点 Q 的坐
2
2
标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得 x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入 x12+x22﹣x1x2＝13，求出 m1＝2，m2＝﹣5．根据 OA＜OB，得出抛物线的对称轴在 y 轴右侧，那么 m＝2，即可确定 抛物线的解析式；
y x2 2x 3
物线的解析式联立，得出方程组
，求解即可得出点 Q 的坐标．
y 3x 3
【详解】
（1）∵ 抛物线 y＝x2﹣mx﹣（m+1）与 x 轴负半轴交于点 A（x1，0），与 x 轴正半轴交于 点 B（x2，0）， ∴ x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），
∵ x12+x22﹣x1x2＝13， ∴ （x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴ m2+3（m+1）＝13， 即 m2+3m﹣10＝0， 解得 m1＝2，m2＝﹣5． ∵ OA＜OB， ∴ 抛物线的对称轴在 y 轴右侧， ∴ m＝2， ∴ 抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接 BE、OE．