牛吃草（一）【学习目标】1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路。
2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。
【经典例题】一般的牛吃草问题【例1】牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长。
这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
供25头牛可吃几天？（难度系数：★★）思考探索：※同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样呀？你明白为什么吗？题目分析：因为每天都会有新的草长出来，所以草的总量并不是固定不变的。
吃的时间越长，长得草越多，草的总量也就多了。
设1头牛1天的吃草量为“1”，（1）10头牛吃20天共吃了10×20=200份；（2）15头牛吃10天共吃了15×10=150份。
比较：第一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=50份，这50份草是牧场的草20-10=10天生长出来的，（3）所以每天新生长的草量为50÷10=5份，牛吃的草包含2部分：①新长的草；②原有的草。
25头牛一天要吃25份草，而每天新长5份草，显然不够这25头牛吃！所以还必须吃掉20份原有的草。
（4）那么原来草量为：200-5×20=100份。
（5）供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100÷（25－5）=100÷20=5天可将原来的牧草吃完，即它可供25头牛吃5天。
反思提升：解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“１”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。
我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为“五步法”：第1步：求出两个总量；第2步：总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数；第3步：每天长草量×天数=总共长出来的草；第4步：草的总量－总共长出来的草=原有的草；第5步：原有的草÷吃原有草的牛=能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天=吃原有草的牛）当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上“五步法”只能作为参考，切不可生搬硬套。
【总结与归纳】“五步法”是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路，我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：牛吃草总量=草场原有草量+新长草量这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案进行比较是获得解题思路的捷径，这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。
具体来看这里的关系：牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数。
由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来，即每天长草量和草场原有草量。
【例2】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变。
）（难度系数：★★）题目分析：设1只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是（21×12-23×9）÷（12-9）=15份，原来的野果为（23-15）×9=72份，如果要4周吃光野果，则需要72÷4+15=33只猴子一起吃。
【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度减少。
已知某块草地上的草，可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，照此计算，可以供10头牛吃多少天？（难度系数：★★）题目分析：设1头牛1天吃的草为“1”，牧场上的草每天自然减少（25×4－16×6）÷（6－4）=2份，原来牧场有草（25+2）×4=108份，可供10头牛吃的天数是：108÷（10＋2）=9天反思提升：牛吃草问题涉及三种数量：原有的草、新长出来的草、牛吃到的草。
牛吃草问题解法上大体分三步：第1步：先求出草的生长速度，即生长出来的草可供几头牛吃；第2步：再求出原有的草量；第3步：根据要求求出牛数和吃草的天数。
【例4】有一片草场，草每天的生长速度相同。
若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。
那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？（难度系数：★★★）题目分析：“4只羊一天吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食草量为“1”，那么14头牛30天吃了14×4×30=1680单位草量，而70只羊16天吃了16×70=1120单位草量，所以草场每天增加：（1680-1120）÷（30-16）=40份草量，原来的草量为1120-40×16=480份草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草17×4＋20=88份草量，经过480÷（88-40）=10天，可将草吃完。
牛吃草问题的变例【例5】有一池水，池底有泉水不断涌出，想要把水池里的水抽干，10台抽水机需要8小时，8台抽水机需要12小时，如果要用6小时将水抽完，那么需要多少台抽水机？（难度系数：★★★）思考探索：这道题表面上好像和牛吃草没有什么关系，但是仔细想一想，我们可以怎样类比？※把抽水机当作什么？（牛）※把水当作什么？（草），※把出水口看成是来帮忙吃草的牛※大家可以试试用“三步法”来解答一下喽。
题目分析：设一根抽水管1小时抽水的量为“1”，那么12－8=4小时进水量为8×12-10×8=16份，即每小时进水量为16÷4=4份，原有水量为：（10-4）×8=48份。
要用6小时将水抽完，需要抽水机的台数为48÷6+4=12（台）。
【总结与归纳】“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。
难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。
“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。
解“牛吃草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；（3）草的总量= 草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量=每天生长量×天数。
“牛吃草”问题有很多的变例，如抽水问题、检票口问题等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
【自主挑战】1．自动扶梯以均匀速度往上行驶着，两位性急的孩子在扶梯上行走。
已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级。
结果男孩用了5分钟到达梯顶，女孩用了6分钟到达梯顶，问扶梯共有多少级？（难度系数：★★）2．有一块匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？（难度系数：★）3．一块匀速生长的草地，可供20头牛吃12天，或供60只羊吃24天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天吃草量，那么这块草地可供12头牛与88只羊一起吃几天？（难度系数：★）4．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？（难度系数：★）5．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。
如果同时打开7个检票口，需要多少分钟？（难度系数：★★）6.一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。
开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。
池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。
如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。
如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？（难度系数：★★）7.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度减少。
已知某块草地上的草，可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，照此计算，可以供多少头牛吃12天？（难度系数：★★）8.画展8：30开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开三个入场口，9：00就不再有人排队；如果开五个入场口，8：45就没有人排队；请问第一个观众到达的时间？（难度系数：★★）9.假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。
为了使资源不致减少，地球上最多生活多少人？（难度系数：★★★）10、有一牧场，17头牛30天可将草吃完。
19头牛则24天可以吃完。
现在若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。
问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？（难度系数：★★★）习题解答1．题目分析：电梯每分钟向上的级数为：（20×5-15×6）÷（6－5）=10（级）扶梯的级数为：20×5+10×5=150（级）2．题目分析：设一头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为（23×9－27×6）÷（9－6）=15份，原有草量为（27－15）×6=72份，可供牛的头数为72÷18+15=19（头）3．题目分析：设一头牛1天吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量，所以草的生长速度为（15×24-20×12）÷（24-12）=10份，原有草量为（20－10）×12=120份，12头牛与88只羊一起吃可以吃120÷（12+22-10）=5（天）4．题目分析：设一个人一分钟掏出的水量为“1”，40－16=24分钟的进水量为3×40-6×16=24份，所以每分钟的进水量为24÷24=1份，那么原有水量为：（3-1）×40=80份。
5人掏水需要80÷（5-1）=20（分钟）把水掏完。
5．题目分析：设一分钟一个检查口检票人数为“1”，则检查速度为（30×4-20×5）÷（30－20）=2份，原来等待人数为（4－2）×30=60份，如果同时打开7个检票口，那么需要60÷（7-2）=12分钟。
6．题目分析：设一根排水管1小时排水为“1”，进水速度为（3×18-8×3）÷（18－3）=2份，原有水量为（8－2）×3=18份，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开18÷8+2=4.25根出水管，每根出水管1小时排水为1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。