《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章 函数练习题1.11.（1）不是。

定义域不相同。

函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。

（2）不是。

对应法则不相同。

x x y ==2。

2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。

（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。

（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。

3.25)23(,23)21(==f f 。

4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为 （2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为 （3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。

定义域不相同。

{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。

练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得 （2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为 （3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为 （4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且 三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章 极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限 偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 极限为0 所以该数列的极限不存在。

练习题2.21. ⎩⎨⎧<->==0,10,1)(x x x xx f ，1)(==x xx ϕ 1)(lim 0-=-→x f x ，1)(lim 0=+→x f x ，)(lim 0x f x →∴不存在1)(lim 0=-→x x ϕ，1)(lim 0=+→x x ϕ， 1)(lim 0=∴→x x ϕ2.101lim ==∞→e e xx 不存在xx x x xx e e e101010lim lim lim ,,0→→→∴+∞==+-练习题2.3为无穷大量。

为无穷小量。

时，当2222,21.0,,01.0,1000xxx x x x x x x x +→练习题2.4（1）02011)1)(1()1(112lim lim lim 121221==+-=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x（2）2002112)112(22lim lim lim lim =+-=+-=+-∞→∞→∞→∞→xx x x x x x x （3）32142412)4)(1()4)(2(4586lim lim lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）2123124)23()124(232420202230lim lim lim =++-=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x x x x x x （5）x h x h hh x h x h x x h x h x h x h h h h 2)2()2())(()(lim lim lim lim 000220=+=+=-+++=-+→→→→（6）221)12()11()12)(11(22lim lim lim =⨯=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x （7）0．利用无穷小的运算性质（有界函数与无穷小的乘积为无穷小） （8）22tan 2sin lim lim 00==→→x xx x x x （9）75757sin 5sin lim lim 00==→→xx x x x x （10）555])11([)11(lim lim e x x x x x x =+=+∞→∞→ （11）3313])1([)1(lim lim ---→→=-=-e x x x x xx第二章复习题一 选择题1．B 2．A 3．C 4．A 二 判断题1．× 2．√ 3．× 4．×三 用观察的方法判断下列数列极限是否存在(或数列是否收敛):（1）极限存在且为10 （2）极限存在且为1 （3）极限存在且为1（4）奇子数列 0,51,31,1→ ；偶子数列1,67,45,23→ 。

所以极限不存在 （5）奇子数列 0,0,0,0→ ； 偶子数列 0,61,41,21→ 所以极限存在且为0四 下列变量在给定的变化过程中哪些是无穷小量?哪些是无穷大量?（1）无穷小量（2）无穷大量（3）无穷小量（4）无穷小量 五 计算题1．010323323442444443243lim lim ==+-+-=+-+-∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x x 2．9)3()3(sin 22220lim lim ==→→x x x x x x 3．33tan 3120cot20])tan 31([)tan 31(22lim lim e x x x x xx =+=+→→第3章 连续函数练习题3.11．()0f x x =在处有定义)0(01sin 20lim f xx x ==→ 处连续在0)(=∴x x f2．（1）无穷间断点 （2）可去间断点 3．（1）361)2(124lim =+→x x 所以当361=a 时函数连续 （2）1)(lim lim 0==--→→xx x ex f ，a f a x a x f x x ==+=++→→)0(,)()(lim lim 00所以当a=1时函数连续。

练习题3.21．（1）连续区间为110lg )8()(),2,(lim 8==-=-∞-→f x f x（2）连续区间为[4，6]，2)5()(lim 5==→f x f x2．（1）0)1()(lim lim 11=-=--→→x x f x x ，1)2()(lim lim 11=-=++→→x x f x x当x →1时，f(x)的极限不存在。

（2）f(x)在x=1处不连续。

（3）函数的连续区间 （0，1）∪（1，3]（4）0)2()(lim 2==→f x f x ，21)21()(lim 21-==→f x f x 3．（1）11)42(sin )2(sin 3334lim ==⨯=→ππa a （2）2)2(0)arctan (lim ππ-=-+=+-∞→x e x x （3）224454)45)(1(45145lim lim lim111==+-=+----=---→→→x x x x x x x x x x x x x （4）54．f(x)在x=0处有定义)11(1111)(,0)(22020010lim limlim lim lim =++-+=-+===+++--→→→→→x x x x x x f ex f x x x xx x )0(0)(lim 0f x f x ==→所以f(x)在x=0处连续。

5．令13)(5--=x x x f ，f(x)在闭区间[1，2]连续 并且f(1)=-3<0,f(2)=25>0,根据零点定理，在（1，2）内至少存在一点c,使 013)(5=--=c c c f . 135=-c c 即所以方程135=-x x 即至少有一个根介于1和2之间。

第三章复习题一 选择题1. A2. D 3．D 二 解答题1．x=-2为无穷间断点2．x=0为可去间断点。

补充定义f(0)=0 三 证明题 1．证 1)(lim lim 00==--→→xx x e x f 2)2()(lim lim 00=+=++→→x x f x x)()(lim lim 00x f x f x x +-→→≠)(lim 0x f x →∴不存在。

2．令1073)(24-+-=x x x x f ，f(x)在闭区间[1，2]连续 并且f(1)=-5<0,f(2)=8>0,根据零点定理，在（1，2）内至少存在一点c,使 01073)(24=-+-=c c c c f .所以曲线107324-+-=x x x y 在x=1与x=2之间至少与x 轴有一个交点。

四 计算题 1.22sin cos 1)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2cos cos sin lim lim lim 444-=+-=+---=-→→→x x x x x x x x x x x x x x πππ2.101lim ==∞→e e xx 3.01ln )sin ln(sin lnlim lim 0===→→x xx x x x 4．1ln )1(ln )1ln()1ln(10100lim lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+→→→e x x x x xx x x x第4章 导数与微分练习题4.11．（1）6.06.1x （2）3132-x （3）512517x （4）32--x 2．（1）0（2）a ln 31（3）21 3．（1）)(0'x f -（2）)(20'x f4．1,1112,121''-==-⨯==∴-==法切k y k x y x所以切线方程为y-2=1(x-1) 即y=x+1 法线方程为y-2=-1(x-1) 即y=-x+3 5．f(x)在x=0处有定义01sin 0)0()(lim lim==--→→x x x f x f x x所以f(x)在x=0处可导且连续。