第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分五年高考荟萃 2009年高考题一、选择题1. (2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 311 D. 4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=++≥+=,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23a b+的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2009安徽卷理）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A.73 B. 37 C.43 D. 34答案 B解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43）x22 yO -2 z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0AD yCy=kx+43∴S △ABC =144(4)1233-⨯=，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴52D y =∴5147,2233k k =⨯+=选A 。
3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A.23 B.32C.34D.43解析 由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩可得(1,1)C ，故S 阴 =1423c AB x ⨯⨯=，选C 。
答案 C4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。
该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元 答案 D解析 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A原料B 原料甲产品x 吨3x 2x 乙产品y 吨y3y则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+>>183213300y x y x y x目标函数y x z 35+=作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D5.（2009宁夏海南卷理）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值 答案 B解析 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。
选B.（3，4）（0，6）O（313，0） yx9 136.（2009宁夏海南卷文）设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值答案 B解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z ＝2，无最大值，故选.B7.(2009湖南卷理)已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 [ B] A .4π B.2πC.34πD.32π答案 B解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1,213-，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，所以11|()|23tan 1111|23α--==+⋅-（），所以4πα=，而圆的半径是2，所以弧长是2π，故选B 现。
8.（2009天津卷理）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为A.6B.7C.8D.23 答案 B【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。
解析 画出不等式3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zx y +-=在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组⎩⎨⎧=-=+323y x y x 得)1,2(，所以734min =+=z ，故选择B 。
8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3q x () =-2⋅x 3+7h x () = 2⋅x-3g x () = x+1f x () = -x+3AB9.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元答案 D【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。
（同文10）解析 设甲、乙种两种产品各需生产x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即已知约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001832133y x y x y x ，求目标函数y x z 35+=的最大值，可求出最优解为⎩⎨⎧==43y x ，故271215max =+=z ，故选 择D 。
10.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3答案 D解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域，而与 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.二、填空题11.（2009浙江理）若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 ．答案 4解析 通过画出其线性规划，可知直线23y x Z =-+过点()2,0时，()min 234x y += 12.（2009浙江卷文）若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小是 ．【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划，可知直线23y x Z =-+过点()2,0时，()min 234x y += 13.（2009北京文）若实数,x y 满足20,4,5,x y x x +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s x y =+的最大值为 .答案 9解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.如图，当4,5x y ==时，459s x y =+=+=为最大值.故应填9.14.（2009北京卷理）若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s y x =-的最小值为__________.答案 6-解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.如图，当4,2x y ==-时，246s y x =---=-为最小值.故应填6-.15.(2009山东卷理)不等式0212<---x x 的解集为 .答案 {|11}x x -<<解析 原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩ 或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.答案 2300解析 设甲种设备需要生产x 天, 乙种设备需要生产y 天, 该公司所需租赁费为z 元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备 A 类产品 (件)(≥50) B 类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备620300则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:61052140,0x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线6105214x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元.【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..17.（2009上海卷文） 已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数z=x-2y 的最小值是_______.答案 －9解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：x y 21=－z ，画直线x y 21=及其平行线，当此直线经过点A 时，－z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6），所以，z 的最小值为：3－2×6＝－9。