第二章 变化率与导数
第三课时 3.2.2 导数的几何意义
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：
了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程：
复 习 回 顾 1.平均变化率
.
],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值
当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f x
x f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率
.
)()
()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，
时，平均变化率
当x x f x
x f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义
x
x f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)
()((
lim )(|)()(000
00000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在
4.点斜式直线方程： y-y 0=k(x-x 0) 曲线的切线
y=f(x)
y 0=f(x 0)， y 1=f(x 1)
当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1)
自变量的增量△x= x1- x0
函数值的增量△y= f(x1)- f(x0)
Q(x0+ △x,y0+ △y)
△y=f(x0+ △x)-f(x0)
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tanβ=
x y ∆∆x
x f x x f ∆-∆+=)()(00当△x→0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 t an α=
x x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000
0lim lim
切线斜率
求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。

割线 MN 的斜率为：
ϕtan x y ∆∆=
x
x f x x f ∆-∆+=
)
()(00割线 MN 的极限位置 MT 称 为曲线 L 在点 M 处的切线
αϕ→→∆时，当0x
ϕαtan lim tan ∞
→=n
切线 MT 的斜率为：
αtan =k x y
x ∆∆=→∆0lim
x
x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim
000
说明：
（1）割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.
（2）曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点.
（3）这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
（4）若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f'(x0)不存在，就是切线与y轴平行.
导数的几何意义
函数y = f(x) 在点x0 处的导数f'(x0) 就
是曲线y = f(x) 在点M(x0, y0) 处的切线的斜率，即：
()tan()
2
f x
π
αα
'=≠
由直线的点斜式方程可知，曲线y = f(x) 在点M(x0, y0) 处的切线方程与法线方程分别为：
L
M
x
y
o 0x
ϕ
α
T
1
x
N
y
x∆
•
•
1
y
y∆
当
(
)0
f x
'
≠时，切线方程
000
()()
y y f x x x
'
-=-,
当
()0
f x
'=
时，切线方程为
y y
=或
()
y f x
=.
例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.
.
)
2
1
,2(
1
.2的切线方程
在点
求双曲线
例
x
y=
求函数图象切线需要注意的问题
（1）已知切点(x0, f(x0))，求切线：
①求切线的斜率:k=f'(x0)；
②确定切点(x0,f(x0))；
③写切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
（2）已知切线过点(a，b)，求切线方程
点(a，b)可以在曲线上，也可以不再曲线上
A、设切点(x0，f(x0))；
B、求斜率k=f'(x0)；
C、写切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)；
D、代入已知点(a,b)，列方程组求得x0；
E、代入求得切线方程.
例4.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.
解：如图各处的切线，我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况 (1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l 0平行于x 轴 ∴在t=t0附近曲线h(t)比较平坦，几乎没有升降. (2)当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线l 1的斜率h'(t1)<0， ∴在t=t1附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l 2的斜率h'(t2)<0， ∴在t=t2附近曲线h(t)下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减.
由图形可知，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线h(t)
在t1附近比在t2附近下降缓慢.
.)382(3113处的切线方程求：在点，，上一点：如图已知曲线练习P P x y =
解：在点P 处的切线方程是 12x-3y-16=0
.
)4
7
4(4
122
的切线方程，过点：求抛物线练习P x y =
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小结:
求切线方程的步骤：
无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。

高中数学。