小题快练1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ）A ．2B ．12C ．12- D ．2-2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2)1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）4.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数.若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上.设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03003x x y -=. 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得830-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .典例1【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性. 解：由已知，函数的定义域为),,0(+∞)1(2ln 222)(')(xax a x x f x g +---==222)(2222)('g x a x x x a x x +-=+-=∴令a x x x h +-=2)(，a 41-=∆，(1)当41≥a 时，，0≤∆0)(g'0)(≥≥∴x x h 恒成立，此时， 上单调递增；在),0()(g +∞∴x(2)当410<<a 时，，0>∆由解得即,0)(,0)('g ==x h x2411,241121ax a x -+=--= 且210x x <<. )2411,0(ax --∈时，0)(>x h ，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增； )24112411(aa x -+--∈，时，()0h x <，此时0)('g <x ，)(g x 单调递减； )2411(∞+-+∈，ax 时，()0h x >，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增.综上，当41≥a 时，函数上单调递增；在),0()(g +∞x 当410<<a 时，函数)(g x 在)2411,0(a --，)2411(∞+-+，a上单调递增， 在)24112411(aa -+--，上单调递减.变式.去掉条件“0>a ”，讨论()g x 的单调性.解：当0≤a 时，，0>∆由解得即,0)(,0)('g ==x h x2411,241121ax a x -+=--= 且210x x <≤. )24110(ax -+∈，时，()0h x <，此时0)('g <x ，函数)(g x 单调递减； )2411(∞+-+∈，ax 时，()0h x >，此时0)('g >x ，函数)(g x 单调递增.典例2【2013高考广东，理21】(22)(本小题满分14分) 设函数).()1()(2R k kx e x x f x∈--=讨论)(x f 的单调区间.解：由已知，函数的定义域为R, )2(2)1()('k e x kx e x e x f xxx-=--+=1)当0≤k 时，0,0)(',02==∴>-x x f k e x 解得由 )0-(，∞∈x 时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减； )0(∞+∈，x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增. 2)当0>k 时，k x x x f 2ln 0,0)('21===，解得由①21=k 时，02ln =k ，此时0)('≥x f ，函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递增；②21>k 时，02ln >k ，)0-(，∞∈x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；)2ln 0(k x ，∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减； )2ln (∞+∈，k x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；③210<<k 时，02ln <k ，)2ln -(k x ，∞∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；)02ln (，k x ∈时，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减； )0(∞+∈，x 时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；综上,当0≤k 时，)(x f )0-(，在∞上单调递减，上，在)0(∞+单调递增； 当 210<<k 时，)(x f )2ln -(k ，在∞上，，)0(∞+单调递增， )02ln (，在k 上单调递减； 当21=k 时，)(x f 在),(+∞-∞上单调递增；当 21>k 时，)(x f )0-(，在∞上，，)2ln (∞+k 单调递增， )2ln 0(k ，在上单调递减.【2015 枣庄一模 理21】已知函数).(ln )1(1)(2R a x x a x x f ∈----= （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若函数1)()(+-=x x f x g 有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围.解：(1)由已知，函数的定义域为),,0(+∞ xx ax x x a ax x x a x f )1)(12(1)12(21)1(21)('---=-++-=---= 令)1)(12()(---=x ax x h(Ⅰ)当0=a 时，1)(-=x x h ，由10)(==x x h ，解得，)10(，∈x 时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；)1(∞+∈，x 时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； (Ⅱ)当0>a ，121,0)(21===x ax x h ，解得由①21=a 时，121=a，恒成立0)(≤x h ,0)('≤x f ,)(x f 在),0(+∞上单调递减； ②21>a 时，1210<<a， )210(a x ，∈时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；)121(，ax ∈时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增； )1(∞+∈，x 时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；③210<<a 时，121>a)10(，∈x 时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；)211(a x ，∈时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；)21(∞+∈，ax 时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；(Ⅲ)当0<a ，1)(021,0)(21=<==x ax x h ，舍解得由 )10(，∈x 时，()0h x <，此时0)('<x f ，函数)(x f 单调递减； )1(∞+∈，x 时，()0h x >，此时0)('>x f ，函数)(x f 单调递增.综上,当0≤a 时,)(x f 在上，)10(单调递减，在上，)1(∞+单调递增； 当210<<a 时,)(x f 在)10(，,上，)21(∞+a 单调递减，在上，)211(a单调递增； 当21=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减；当21>a 时，)(x f 在)210(a ，,上，)1(∞+单调递减，在上，)121(a单调递增. (2)解：由已知，得2()(1)ln g x a x x =---(0>x )，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，又21,1)0(==x h 且对称轴,⎩⎨⎧>-=∆>∴08402a a a .2>∴a【2015高考山东，理21】(本小题满分14分)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；解：由已知，函数的定义域为),,1-(+∞ 112)12(11)('2+-++=-++=x a ax ax x a x x f 令()221g x ax ax a =++-（1）当0a = 时，()10g x => ，()0f x '> 在()1,-+∞上恒成立 所以，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值；（2）当0a > 时,()221g x ax ax a =++-a a 892-=∆，若809a <≤，0≤∆,则()0g x ≥在()1,-+∞上恒成立，从而()0f x '≥ ， ()f x 在 ()1,-+∞上单调递增无极值；若89a >，0>∆,由于()()110,1210g g a -=>=+> ,则()g x 在()1,-+∞上有两个零点，从而()f x 在()1,-+∞上有两个极值点12,x x 且1214x x <-<； （3）当0a < 时，()g x 在11,4⎛⎫--⎪⎝⎭ 上单调递增，在1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 且()19110,1048ag g ⎛⎫-=>-=-> ⎪⎝⎭， 所以，()g x 在()1,-+∞上有唯一零点，从而函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点.综上，......变式17．【2013高考福建，理17】（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈Q x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．。