数学必修4综合测试题一、选择题（本大题共12小题,每小题５分，共6０分，在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的）１。

下列命题中正确的是( Ｃ )A ．第一象限角必是锐角 Ｂ.终边相同的角相等C.相等的角终边必相同 D 。

不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢５分钟，则分钟转过的弧度数是ﻩ( C )A ．3πﻩ B.-3π C ．6πＤ。

－6π ３．已知角α的终边过点()m m P 34，-,()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是( Ｂ ) A 。

1或－1 Ｂ．52或52- C ．1或52- D ．—1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ B ）A 。

35(,)(,)244ππππ B ．5(,)(,)424ππππC 。

353(,)(,)2442ππππ Ｄ．33(,)(,)244ππππ5. 若｜2|=a ,2||=b 且（b a -）⊥a ,则a 与b 的夹角是 ( )(Ａ)6π (B)4π (Ｃ)3π(Ｄ）π125 ６．已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示,如果2||,0,0πϕϖ<>>A ,则( )ﻫ A.4=A ﻩB 。

1=ϖ Ｃ.6πϕ=ﻩD 。

4=B７. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，,集合{}x y y x B ==|)(，,则( ） A.B A 中有3个元素 B ．B A 中有1个元素 C.B A 中有２个元素 Ｄ。

B A R = 8.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）Ａ。

247Ｂ．247-ﻩC ．724ﻩＤ．724-9. 同时具有以下性质：“①最小正周期实π;②图象关于直线x ＝错误!对称；③在［－错误!]上是增函数”的一个函数是 （ ）A . ｙ=ｓin (错误!)ﻩＢ. ｙ＝c ｏs (2x ＋错误!) ﻩC ． y ＝ｓi ｎ（2x —错误!)ﻩ Ｄ． y ＝ｃo ｓ(２ｘ－＼f （π,6)）１0. 设i =（1，0)，j =（０,1)，a =2i +3j ，b ＝k ｉ—4j ，若a ⊥b ，则实数k 的值为（ ） A 。

-6 B ．－3 C ．3 D ．6 1１. 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=ππ的最小正周期为 （ )A ．32πB 。

3πＣ．８Ｄ.412. 2002年８月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于( ）A ．１B 。

2524-C ．257 Ｄ.-257二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分)1３. 已知3322cos2sin=+θθ，那么θsin 的值为 ，θ2cos 的值为 14． 已知|ａ｜＝3，|b ｜=5， 且向量a 在向量b 方向上的投影为125,则ａ·b = .15。

已知向量OP X 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么XB XA ⋅的最小值是＿____＿_＿___＿_______ １6。

给出下列6种图像变换方法:①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21;②图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3π个单位;⑤图像向右平移32π个单位;⑥图像向左平移32π个单位。

请写出用上述变换将函数y = ｓinx 的图像变换到函数y = ｓin (2x ＋3π）的图像的一个变换＿_＿_＿___＿_＿___。

（按变换顺序写上序号即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）１7、已知cos(α－2β)=19-，sin （2αβ-）=23，且α∈(2π，π),β∈(0,2π）,求c ｏs 2αβ+的值.18。

（本小题满分12分)已知434π<α<π,40π<β<,53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值．1９. （本题满分1２分）已知向量)23sin 23(cosx x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ,)13(-=，c ，其中R ∈x . （Ⅰ)当b a ⊥时,求x 值的集合； （Ⅱ）求||c a -的最大值.２0、已知函数.,12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+=（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合; (２）在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象.２１、（本题满分1２分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）ﻩ(1）记),(31,,b a OC b t OB a OA +===那么当实数t 为何值时,A 、B 、C 三点共线? (２）若 1201||||夹角为与且==,那么实数ｘ为何值时||x -的值最小？22、(本题满分１４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测,台风中心位于城市正南方向200km的海面Ｐ处,并正以２0km/h 的速度向北偏西θ方向移动(其中19cos 20θ=)，台风当前影响半径为10km,并以10ｋm/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长?数学必修4综合测试题参考答案1． C2. D3．B 4、B 5、Ｂ6、C ７、Ａ8、D 9、C ． 1０、D11、A12、Ｄ 1３、31,9714、12 15．-8 １6． ④②或②⑥ 17、已知ｃos （α-2β）=19-,sin(2αβ-）=23，且α∈(2π,π)，β∈(０,2π),求cos 2αβ+的值。

18。

解:∵434π<α<π ∴π<α+π<π42 又53)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π∴sin( + ） = si ｎ[ ＋ （ + )] = )]43()4sin[(β+π+α+π-)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-= 19解：(Ⅰ）由b a ⊥，得0=⋅b a ，即02sin 23sin 2cos 23cos =-xx x x ．…………4分则02cos =x ，得)(4π2πZ ∈+=k k x ．…………………………………5分∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，4π2π|为所求。

…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22)323(cos||x c a =+2)123(sin x )3π23sin(45-+x ,……………10分 所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………１2分 2０解:(Ｉ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+= =)42sin(2π-x ………………………………………………５分所以)(x f 的最小正周期是π……………………………………………………6分∈x ﻩＲ,所以当∈+=+=-k k x k x (83,2242πππππ即Ｚ）时，)(x f 的最大值为2。

ﻩ即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+=k k x x ,83|{ππZ }……………………8分 (II ）图象如下图所示:（阅卷时注意以下３点)ﻩ１．最小值2)83(=πf ，最小值2)87(-=πf .………………10分 2.增区间];,87[],83,0[πππ减区间]87,83[ππ (12)分3．图象上的特殊点：（０，－１）,(1,4π)，（1,2π)，)1,(),1,43(--ππ………１4分 [注：图象上的特殊点错两个扣１分，最多扣２分]21、解:(1）A 、B 、Ｃ三点共线知存在实数)1(,λλλ-+=使即b t a b a )1()(31λλ-+=+，…………………………………………………4分ﻩ则21,31==t 实数λ………………………………………………………………６分（2）,21120cos ||||-=⋅=⋅ﻩ,12||22222++=⋅⋅-⋅+=-∴x x x x x ……………………………9分 ﻩ当23||,21取最小值时b x a x --=…………………………………………１2分 22、解:如右图，设该市为A ，经过t 小时后台风开始影响该城市,则t 小时后台风经过的路程ＰＣ＝（20t ）ｋm ，台风半径为ＣD=（１０+１0t ）km ，需满足条件：C Ｄ≥ＡC2222222()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC AC PC PA PA PC θ=-=+-=+-22219200(20)22002040000400760020t tt =+-=+-∴222400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得23007800399000t t -+≤ 即2261330t t -+≤ 解得719t ≤≤∴7小时后台风开始影响该市,持续时间达１2小时。