高中新课标数学必修④模块 基础题型归类1、运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.例1. （1）求值：cos600； （2）化简： cos 2(4π－α)+cos 2(4π+α)练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于 .（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为 . 2、运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x xx x x x+--； （2）已知sin x +cos x =15, 且0<x <π, 求tanx 的值.练2 （1）已知sin α·cos α＝18，且4π＜α＜2π，则cos α－sin α的值为 .（2）已知tan α=3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α.3、运用和差角、倍角公式化简与求值：要求：掌握和差角公式、倍角公式，能够顺用、逆用、活用，掌握基本方法（平方、1的妙用、变角、切弦互化、方程思想）.例3 （1）已知tan （4π+α）=2，求sin2α+sin 2α+cos2α的值.（2）已知33350,cos(),sin()4445413ππππβααβ<<<<-=+=，求cos(22)αβ+的值练3 （1）若sin （2π－α）＝35，则cos2α＝ .（2）已知tan()tan()4,44ππθθ-++= 且,2ππθ-<<-则sin θ= .（3）如果21tan(),tan()544παββ+=-=，那么tan()4πα+= .（4）如果3cos25x =，那么sin 4x ＋cos 4x = .（5）△ABC 中，已知sin A =35, cos B =513, 则sin(A +B )的值为 .（6）已知α,β∈（0,π）且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-的值为.（7）已知34cos cos ,sin sin 55αβαβ+=+=，则()αβcos -的值为 .（8）已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值.4、结合三角变换研究三角函数性质： 要求：熟练进行三角变换，将sin cos a x b x +化为一个三角函数后研究性质. 方法：降次、化一、整体.例4 已知函数2()2sin 2sin cos 1,.f x x x x x R =+-∈.（i ）求()f x 的最小正周期及()f x 取得最小值时x 的集合；（ii ）在平面直角坐标系中画出函数()f x 在一个周期内的图象；（iii ）说明()f x 的图象如何由sin y x =变换得到； （iv ）求()f x 的单调区间、对称轴方程.练4 （1）若函数y =2sin xcos x ＋4的最小值为1，则a = .（2）函数221tan 21tan 2xx-+的最小正周期为 ；函数sin sin(60)22x xy =+-的最大值是 .（3）已知函数2()5sin cos ()f x x x x x R =⋅-∈. 求()f x 的最小正周期、单调区间、图象的对称轴，对称中心.5、运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合.例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为 . （2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使si nx <co s x 成立的x 的取值范围 . 6、弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例 6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为 .练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为 ，其中在－2π～2π间的角有 .（2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角?7、三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7 （1）角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 .（2）当[,]22x ππ∈-时，函数()sin f x x x =+的值域为 .练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）函数cos cos 2y x x x =⋅+的值域为.（3）把函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到 .8、 三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+. （i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为 .（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为 .（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为 .（5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.9、向量基本运算（加减法、数乘、数量积、坐标运算）：要求：掌握向量加减法几何意义，能熟练进行向量运算，运用向量的运算研究向量平行与垂直.例9 （1）已知||4,||3,,a b a b ==的夹角为120°，且2c a b =+，2d a kb =+，当c d ⊥时，k = .（2）若a =（1，2），b =（3-，2）， k 为何值时:（i ）k a +b 与a －3b 垂直；（2）k a +b 与a －3b 平行？练9 （1）若||41203a b -=-，||4,||5a b ==，则b a 与的数量积为 . （2）向量(,1)a x =与(4,)b x =共线且方向相同，则x = . （3）已知A （3，y ），B （5-，2），C （6，9-）三点共线，则y =_________. （4）已知 a =(－3，4)，若||b ＝1，b ⊥a ，则b = . 10、向量的模与夹角：要求：能运用向量运算研究向量的模与夹角问题. 例10 （1）已知|a |=4，|b |=3，（2a －3b ）·（2a +b ）=61，求：(i )a 与b 的夹角θ; (ii ) |2|a b +.（2）已知ABC ∆的顶点坐标分别为A （1,2），B （2,3），C （－2,5），求cos A .练10 （1）非零向量a 和b 满足：||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角等于 . （2）已知|a |=10，|b |=12，且（3a ）·（51b ）=－36，则a 与b 的夹角是 .（3）如果||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为4π，则||a b -等于 .11、向量与三角函数的交汇考查：要求：掌握向量与三角函数的交汇. 向量坐标运算是交汇点. 例11 （1）设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）. （i ）若a 为单位向量，求x 的值；（ii ）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象如何平移得到？（变式：研究性质）（2）已知33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-,且[0,]2x π∈. （i ）求 a b ⋅及a b+; （ii ）求函数()sin f x a b a b x =⋅-+的最小值.练11 已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||.a b a b ααββ==-=（i ）求cos()αβ-的值； （ii ）若50,0,sin ,sin 2213ππαββα<<-<<=-且求的值.12、向量与三角的应用模型要求：掌握向量在物理、几何中的应用. 掌握三角模型在实践中的运用. 例12 （1）已知平行四边形ABCD ，AB ＝a ，AD =b .（i ）若向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||1b =，求||BD ，||AC 的长. （ii ）如果||||a b a b +=-，求证四边形ABCD 为矩形.（2）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为y =)(t f ，t （时） 03 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0)(t f ω. （i ）根据以上数据求出y=)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.练12 （1）一艘船从A 点出发以23/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小为 ，其方向与水流方向的夹角为 .（2）已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-、(1,3)-、(3,4)，则顶点D 的坐标为 .（3）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .INPUT tIF t<= 4 THENc=0.2 ELESc=0.2+0.1(t －3)END IF PRINT c END（4）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.高中新课标数学必修③模块 基础题型归类1、算法框图与语句：要求：理解算法基本思想，掌握算法三种逻辑结构与五种基本语句（输入、输出、赋值、条件、循环）. 例1. （1）若输入8时，则右边程序执行后输出的结果是 .（2）右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是 . （3）对任意正整数n ，设计一个求Ｓ＝111123n++++的程序框图，并编写出程序.S=0 i=1 DOINPUT x S=S+x i=i+1LOOP UNTIL _____ a=S/20 PRINT a END练1 （1）右边程序为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 .（2）右图输出的是的结果是 . （3）编写程序，计算12+22+32+……+10022、经典算法案例：要求：掌握进位制转化、辗转相除法与更相减损术求最大公约数、秦九韶算法.例2. （1）将二进制数10101（2）化为十进制数为 ，再化为八进制数为 .（2）用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果.（3）已知一个4次多项式43()6354g x x x x =-++, 试用秦九韶算法求这个多项式在x=2的值.练2 （1）下列各数中最小的数是（ ）. A. (9)85 B. (6)210 C. (4)1000 D. (2)111111（2）1001101（2）= （10），318（10）= （5）3、抽样方法与频率分布：要求：掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 能运用频率分布直方图. 例3. （1）某校1000名学生中，O 型血有400人，A 型血有250人，B 型血有250人，AB 型血有100人，为了研究血型与血弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O 型血，A 型血，B 型血，AB 型血的人要分别抽取人数为 .（2） 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽车大约有____________辆练3 （1）某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n 为 .（2）某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为1200辆,6000辆和2000辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取 辆.4、样本数字特征：要求：掌握样本中心位置特征数（平均数、中位数、众数）与离散程度特征数（标准差、方差）的计算. 例4. 给出下列四种说法：① 3，3，4，4，5，5，5的众数是5； ② 3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；③ 频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率； ④ 频率分布表中各小组的频数之和等于1其中说法正确的序号依次是 .练4甲乙两种棉花苗中各抽10株, 测得它们的株高分别如下(单位:cm) 甲: 25,41,40,37,22,14,19,39,21,42 乙: 27,16,44,27,44,16,40,40,16,40 （1）估计两种棉花苗总体的长势:哪种长的高一些? （2）哪种棉花的苗长得整齐一些?5、概率基本性质：要求：掌握概率基本性质0()1P A ≤≤等，能运用互斥事件的概率加法公式()()()P A B P A P B =+，对立事件的概率减法公式()1()P A P A =-. 例5. 一枚五分硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少二次正面向上”. 写出一个事件A 、B 、C 的概率(),(),()P A P B P C 之间的正确关系式是 .练5 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成和棋的概率为 ；乙获胜的概率为 .6、古典概型与几何概型要求：掌握两种概率模型的特征，能运用概率模型解决实际问题.例6. （1）玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿. （i ）从中取1个球, 求取得红或白的概率. （ii ）若从中取2个球，求至少一个红球的概率.（2）甲乙两人相约某天在某地点见面，甲计划在上午8：30至9：30之间到达，乙计划在上午9：00至10：00之间到达. （i）求甲比乙提前到达的概率；（ii）如果其中一人先到达后最多等候另一人15分钟，然后离去. 求两人能够会面的概率.练6（1）某人一次掷出两枚骰子,点数和为5的概率是.（2）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂色的概率是.（3）从一副扑克牌（没有大小王）的52张牌中任取2张，求：（i）2张是不同花色牌的概率；（iii）至少有一张是红心的概率.（4）在10件产品中，有8件是合格的，2件是次品，从中任意抽2件进行检验，计算：（i）两件都是次品的概率；（ii）2件中恰好有一件是合格品的概率；（iii）至多有一件是合格品的概率（5）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标(,)m n，则点P在圆2225+=外的概率是.x y（6）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.。