高一数学期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()4sin 5πθ+=，则θ角的终边在 （ ） A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、四象限D ．第三、四象限2．若(1,2)a =，(4,)b k =，0c =，则()a b c ⋅= （ ） A ．0B ．0C ．42k +D ．8k +3．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．22a b > B ．11a b< C ．||||a b > D ．22a b > 4．若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a bc a a b⋅=-⋅，则向量a 与c 的夹角为 （ ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．05．若0,0a b ≥≥,且2a b +=，则下列不等式一定成立的是 （ ）A B 12C ．222a b +≤D ．222a b +≥ 6．设222,,2,1m x R M x m N mx m ∈=+=+-，则,M N 的关系为 （ ） A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤ 7．函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是 （ ） A ．[]22ππ-， B ．[2ππ]，C ．[]23ππ，D ．[0]2π，8．已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的 解析式为 （ ） A ．tan(2)3x π+B ．tan(2)6x π-C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+ 9．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则1324PP P P ⋅等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1610．设S 是ABC ∆的面积，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin ()sin S A BA BC B <⋅， 则 （ ） A ．ABC ∆是钝角三角形 B ．ABC ∆是锐角三角形 C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D ．无法判断二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在平行四边形ABCD 中，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则AD =____.（用坐标表示） 12．已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -，若,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝ ．13．函数2()(1)24xf x x x x =++≥的最大值为________.14.已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是___________． 15．已知实数、、a b c 满足条件1ab bc ca ++=，给出下列不等式：①2222221a b b c c a ++≥；②1abc≥2()2a b c ++>； ④22213a bc abc abc ++≤； 其中一定成立的式子有_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题满分12分）解不等式：21122log (43)log (1)x x x -+<-+．17．（本小题满分12分）若将函数()sin f x x =的图象按向量(,2)a π=--平移后得到函数()g x 的图象．（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）求函数1()()()F x f x g x =-的最小值．18．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---. （Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 应满足的条件； （Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值．19．（本小题满分12分）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △20．（本小题满分13分）“512⋅”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。

设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD 的两个顶点,A B 及CD 的中点P 处，10AB km =，5BC km =，现要在该矩形的区域内（含边界），且与,A B 等距离的一点O 处建造一个医疗站，记O 点到三个乡镇的距离之和为y ． （Ⅰ）设()BAO rad θ∠=，将y 表示为θ的函数； （Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．21. （本小题满分14分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . （Ⅰ）证明：2a b ca b a c+>++；（Ⅱ）证明：不论x 取何值总有22b x +2222()0b c a x c +-+>；（Ⅲ）若2a c >≥，证明：1111(1)(1)6a c c a -<++++.高一数学期末考试试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()4sin 5πθ+=，则θ角的终边在（ D ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第一、四象限D ．第三、四象限[提示]：4sin 05θ=-<，∴θ角的终边在第三、四象限．2．若(1,2)a =，(4,)b k =，0c =，则()a b c ⋅= （ B ） A ．0B ．0C ．42k +D ．8k +[提示]：()a b c ⋅=0．3．已知,a b 为非零实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ D ） A ．22a b > B ．11a b< C ．||||a b > D ．22a b > [提示]：不知,a b 的正负，A ，B ，C 都不能确定，而函数2xy =单调递增．4．若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a bc a a b⋅=-⋅，则向量a 与c 的夹角为（ A ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．0[提示]：设向量a 与c 的夹角为θ，cos ||||a c a c θ⋅==⋅()0||||||||a ab a a a b a a a a ac a c ⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⋅⋅-⋅⎣⎦==⋅⋅．5．若0,0a b ≥≥,且2a b +=，则下列不等式一定成立的是（D ）A 2B 12C ．222a b +≤D ．222a b +≥ [提示]：2a b ab +≤≤，∴222a b +≥． 6．设222,,2,1m x R M x m N mx m ∈=+=+-，则,M N 的关系为 （ A ） A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤[提示]：222231()1024m M N x mx m x m -=-++=-++>． 7．函数2sin cos y x x ωω= (0)ω>的最小正周期为π，则函数()2sin()2f x x πω=+的一个单调增区间是（C ） A ．[]22ππ-， B ．[2ππ]，C ．[]23ππ，D ．[0]2π，[提示]：2sin cos sin 2,(0)y x x x ωωωω==>．∴1,()2sin()2cos 2f x x x πω==+=，在[]23ππ，上单调递增．8．已知函数()tan(2)f x x b π=-的图象的一个对称中心为(,0)3π，若1||2b <，则()f x 的 解析式为（D ） A ．tan(2)3x π+ B ．tan(2)6x π- C ．tan(2)6x π+或tan(2)3x π- D ．tan(2)6x π-或tan(2)3x π+ [提示]：2,32k b πππ⋅-=∴232k b =-，()k Z ∈，又1||2b <，∴1,2k =，13b =-或16．9．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则1324PP P P ⋅等于（ B ）A ．2B ．4C ．8D ．16[提示]：依题意1234,,,P P P P 四点共线，13PP 与24P P 同向，且1P 与3P ， 2P 与4P 的横坐标都相差一个周期，所以13||2PP =，24||2P P =，13241324||||4PP P P PP P P ⋅==．10．设S 是ABC ∆的面积，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin ()sin S A BA BC B <⋅， 则 （A ）A ．ABC ∆是钝角三角形B ．ABC ∆是锐角三角形 C ．ABC ∆可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D ．无法判断 [提示]：2sin ()sin S A BA BC B <⋅，∴12sin cos 2a bc Ab ca B ⋅<⋅，∴sin cos A B <，∴B ∠为锐角，sin cos sin()2A B B π<=-，若A ∠为钝角，且满足上式，则ABC ∆是钝角三角形，若A ∠为锐角，则,,222A B A B C πππ<-∴+<>，ABC ∆是钝角三角形．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在平行四边形ABCD 中，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则AD =____.（用坐标表示） [提示]：(2,4)AB DC ==，∴AD =(1,3)(2,4)(1,1)AC DC -=-=--．12．已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -，若,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝ 3． [提示]：(2,1),(2,2)B C -，,E F 为线段BC 的三等分点，∴(2,0),(2,1)E F ，(1,2),(1,1)AE AF =-=-，∴123AE AF ⋅=+=．13．函数2(),(1)24xf x x x x =≥++的最大值为____16_____. [提示]：211()42462x f x x x x x==≤=++++，当且仅当2x =时取等号．14.已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是_______((2,)-∞-+∞_______．[提示]：sin cos )[4a x x x π=+=+∈，又其解集为空集，∴(,a ∈-∞(2,)+∞．15．已知实数、、a b c 满足条件1ab bc ca ++=，给出下列不等式： ①2222221ab bc c a ++≥；②1abc ≥；③ 2()2a b c ++>；④22213a bc abc abc ++≤；其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：3a b c ===时排除①；2a =，3b =，1c =-时排除②；而2()a b c ++ 2222()3()3a b c ab bc ca ab bc ca =+++++≥++=2>，∴③成立；2()ab bc ca ++ 2223[()()()()()()]3()ab bc bc ca ca ab a bc ab c abc ≥++=++，∴④成立．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题满分12分）解关于x 的不等式：21122log (43)log (1)x x x -+<-+．[解答]：由2430,10x x x -+>-+>，得1x <，所以依对数的性质有：2431,x x x -+>-+∴2320,x x -+>∴2x >或1x <，又1x <，∴1x <，不等式的解集为{}|1x x <．17．（本小题满分12分）若将函数()sin f x x =的图象按向量(,2)a π=--平移后得到函数()g x 的图象．（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）求函数1()()()F x f x g x =-的最小值． [解答]：（Ⅰ）设(,)P x y 是函数()sin f x x =的图象上任意一点，按向量(,2)a π=--平移后在函数()g x 的图象上的对应点为'''(,)P x y ，则：''2x x y y π⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴''2x x y y π⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即 '2sin()y x π+=+，所以函数()sin 2g x x =--；（Ⅱ）111()()sin sin 22()sin 2sin 2F x f x x x g x x x =-=+=++-≥++20-=，当1sin 2,sin 2x x +=+即sin 1x =-时，min ()0F x =． 18．（本小题满分12分）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---. （Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 应满足的条件； （Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． [解答]：（Ⅰ） 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =(2,1),AC x y =-- ∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠（若根据点,,A B C 能构成三角形，必须||||||AB BC AC +>，相应给分）； （Ⅱ）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥，∴3(1)0x y ---=，又||||AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．19．（本小题满分12分）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △[解答]：（Ⅰ）π()C A B =-+，1tan 4A =tan tan()C A B ∴=-+= 1345113145+-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=； （Ⅱ）34C =π，AB∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC边为最小边．cos A =，∴sin A =sin sin AB BCC A=得：sin sin ABC AB C=⋅=BC = 20．（本小题满分13分）“512⋅”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。