2020年福建省南平市浦城县中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（）A．圆柱B．三棱柱C．球D．长方体2．（4分）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：273．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．1B．C．D．4．（4分）如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠1＝∠C B．∠A＝∠C C．∠2＝∠B D．5．（4分）已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（）A．32°B．58°C．68°D．以上结论都不对6．（4分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．1：1B．1：2C．1：3D．2：37．（4分）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（）A．100°B．120°C．115°D．135°9．（4分）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（）A．4B．2C．8D．4二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于度．12．（4分）在一盏路灯旁的地面上竖直立着两根木杆，两根木杆在这盏路灯下形成各自的影子，则将它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形相似．（填“可能”或“不可能”）．13．（4分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为．14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．15．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．16．（4分）如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN：NC ＝．三、解答题（本题共86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）如图是由几个小立方块所搭几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出相应几何体从正面、从左面看到的图形．19．（8分）如图，A，B，C在圆上，弦AE平分∠BAC交BC于D．求证：BE2＝ED•EA．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B，a，c的值．21．（8分）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．（1）求AD的长；（2）试问能成立吗？请说明理由．22．（10分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．23．（10分）一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC 方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.723）24．（12分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．25．（14分）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）2020年福建省南平市浦城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（）A．圆柱B．三棱柱C．球D．长方体【解答】解：A、从正面看是长方形，从上面看是圆，从左面看是长方形；B、从正面看是两个长方形，从上面看是三角形，从左面看是长方形；C、从正面、上面、左面观察都是圆；D、从正面看是长方形，从上面看是长方形，从左面看是长方形，但三个长方形的长与宽不相同．故选：C．2．（4分）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：27【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝4，AD＝3，∴tan∠ABC＝＝，故选：D．4．（4分）如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠1＝∠C B．∠A＝∠C C．∠2＝∠B D．【解答】解：由图得：∠A＝∠A，故当∠B＝∠2或∠C＝∠1或AE：AB＝AD：AC时，△ABC与△ADE相似；也可AE：AD＝AC：AB．B选项中∠A和∠C不是成比例的两边的夹角．故选：B．5．（4分）已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（）A．32°B．58°C．68°D．以上结论都不对【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，α是锐角，∴α＝32°．故选：A．6．（4分）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC 等于（）A．1：1B．1：2C．1：3D．2：3【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∴△DEF∽△BCF，∴；∵点E是边AD的中点，∴BC＝AD＝2DE，∴．故选B．7．（4分）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．故选：D．8．（4分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（）A．100°B．120°C．115°D．135°【解答】解：∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠BPD，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝60°，∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．故选：B．9．（4分）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据主视图的定义，可得它的主视图为：，故选：A．10．（4分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（）A．4B．2C．8D．4【解答】解：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB＝2AC，∵OD＝2，∴OC＝2，∵tan∠OAB＝，∴AC＝4，∴AB＝8，故选：C．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于70度．【解答】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）＝，sin60°＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．12．（4分）在一盏路灯旁的地面上竖直立着两根木杆，两根木杆在这盏路灯下形成各自的影子，则将它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形可能相似．（填“可能”或“不可能”）．【解答】解：∵中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，∴当两根木杆距离点灯距离相等时它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形相似，否则不相似，故答案为：可能．13．（4分）如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为8π．【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，所以这个几何体的侧面展开图的面积＝×4π×4＝8π．故答案为：8π．14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴＝＝＝．故答案为：．15．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝＝3x，∴tan B＝＝＝，故答案为：．16．（4分）如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN：NC ＝1：2．【解答】解：作DE∥BN交AC于E，∵DE∥BN，M是AD的中点，∴N是AE的中点，∵DE∥BN，D是BC的中点，∴E是NC的中点，∴AN：NC＝1：2，故答案为：1：2．三、解答题（本题共86分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣（1﹣）＝﹣×＝；（2）原式＝2+﹣4×+＝2+﹣2+＝1．18．（8分）如图是由几个小立方块所搭几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出相应几何体从正面、从左面看到的图形．【解答】解：如图所示：．19．（8分）如图，A，B，C在圆上，弦AE平分∠BAC交BC于D．求证：BE2＝ED•EA．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠EBC，∴∠BAE＝∠EBC，又∵∠AEB＝∠DEB，∴△ABE∽△BDE，∴，∴BE2＝ED•EA．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，求∠B，a，c的值．【解答】解：∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD＝，∴cos∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∴c＝2b＝16，a＝＝＝8，即∠B＝30°，a＝8，c＝16．21．（8分）在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．（1）求AD的长；（2）试问能成立吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵．∴，∴AD＝7.2；（2）能，理由如下：∵，∴，∴，∴．22．（10分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．（1）求证：△ADC∽△EBA；（2）如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE．∵，∴∠DCA＝∠BAE．∴△ADC∽△EBA；（2）解：∵A是的中点，∴∴AB＝AC＝8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，，即，∴AE＝，∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝＝＝．23．（10分）一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC 方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.723）【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，∵∠CBD＝45°，∴∠CBF＝∠C＝45°，∵∠A＝30°，AB＝50，∴BF＝25m，AF＝25m，∴FC＝25m，则BC＝25m，∴AC＝25+25≈68（m），68÷400≈0.17（秒），故25÷0.17≈208（m/s），答：外国侦察机由B到C的速度是208m/s．24．（12分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴．25．（14分）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED•EA＝EC•EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）【解答】解：（1）如图1中，∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC＝180°，∴∠EDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴ED•EA＝EC•EB．（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．在Rt△CDF中，cos∠ADC＝，∴＝，∵CD＝5，∴DF＝3，∴CF＝＝4，∵S△CDE＝6，∴•ED•CF＝6，∴ED＝＝3，EF＝ED+DF＝6，∵∠ABC＝120°，∠G＝90°，∠G+∠BAG＝∠ABC，∴∠BAG＝30°，∴在Rt△ABG中，BG＝AB＝6，AG＝＝6，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC＝∠G＝90°，∵∠E＝∠E，∴△EFC∽△EGA，∴＝，∴＝，∴EG＝9，∴BE＝EG﹣BG＝9﹣6，∴S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△CDE＝（9﹣6）×6﹣6＝75﹣18．（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3，∴tan∠E ＝，作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，∴FG＝DF﹣DG＝5+n﹣3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，易证△AFG∽△CEH，∴＝，∴＝，∴a ＝，∴AD＝5a ＝．第21页（共21页）。