概率知识点总结
随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。
样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本
样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。
随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生， 则这一事件称为随机事件。
&必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。
9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。
10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。
利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
事件的包含A
互不相容事件（互斥事件） AI B
1、 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
2、
3、 概率论：是研究随机现象统计规律的科学。
4、
5、 占 八
6、 7、 事件的并（和） AUB
事件的交（积） AI B
事件的差A B
A A
B A B
(7)完备事件组：事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容，且AUAUL U A n
(8)事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理
12、概率
P( ) 1 , P( ) 0
如果 A I
,A 2,L ,A n 两两互不相容，则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件，则P(A B) P(A) P(AB)
P (AUB) P(A) P (B) P (AB)
n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n )
1 i j k n 12、古典概型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同
P(A) A 包含的基本事件数 I
丿试验的基本事件总数
13、条件概率：P
HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件 概率 力口法公式：P (AUB) P (A) P (B) P (AB)，若 A, B 互斥，贝 Jp( AUB) P (A) P(B)
(6)对立事件(互逆事件) AUB
AI B ，记 B A
如果 B A ，贝J P(A B) P(A)
P(B)
P (AUBUC) P (A) P (B) P(C)
P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)
n
P(A 1 UAUL U AJ P(A)
i 1
1 i j P(A) P(A j )
乘法公式：P (AB) P(A) P(B|A) P(B )P (A|B)，若A,B 独立，则P(AB) P(A) P(B)
全概率公式：P(A) P(B1)P(A|B1)P(B2) P(A|B2)L P (BJ P(A|B n)
P(B k) P(A|B k)
贝叶斯公式：P (2)错P(B1)P(A|B1) L P(B n)P (A|B n)
14、事件独立：如果P(B| A) P(B)，则称事件B对于事件A独立，此时，事
件A对于事件B独立，称A,B相互独立。
A,B相互独立的充要条件是
P(AB) P(A)P(B)。
A与B，A与B，A与B，A与B具有相同的独立性。
15、随机变量：如果对每一个样本点，都有唯一的实数X()与之对应, 则称X X()为样本空间上的随机变量。
离散型随机变量：随机变量的取值是有限个或可列多个。
表示方法：用概率分布(分布律)表示。
公式法P(X X k) P k，k 1,2,L ；列表法。
16、常见的离散型随机变量:
(1)0-1分布(两点分布)：随机变量只能取到0和1两个值
(2)二项分布：将试验独立重复进行n次，每次实验中，事件A发生的概率为P，则称这n次试验为n重Bernoulli试验。
以X表示n重Bernoulli试验中事件A发生的此时，则X服从参数为n,p的二项分布，记作X ~ B( n,p),分
布律为P(X X k) C f p k(1 p)n k，k 0,1,2,L ,n。
二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和。
(3)泊松分布：若随机变量的分布律为
p 较小，np 适中时，可以用泊松分布公式近似替换二项分布公式。
17、随机变量的分布函数：F(x) P(X x)
18、离散型随机变量：取值有限或无限可列，用分布律刻画。
连续性随机变量：取值充满一个区间，用概率密度函数刻画。
概率密度函数(密度函数)：若存在非负可积函数f(x)，使得
x
F(x) P(X x) f (t)dt
则称X 为连续型随机变量，f(x)为X 的概率密度函数，若f(x)在x 处连续, 则 F'(x) f(x)
1
(1)均匀分布：f(x) r"a
0, P(x X k )
k ——e k! k 0,1,2,L ,n ，则称X 服从参数为 的泊松分布，记作 泊松定理: li
m P (X X k ) lim n C f p k (1 p)n k k
一e k!
19、连续型随机变量 X 取任意单点值的概率为 0,即 P(X a) 0 P(a
X a) P(a X b) P(a b) P(a X b b) a f(t)dt P(X a) P(X a) 20、 常见的连续型随机变量: 当n 较大, 其他
则称X 在［a,b ］上服从均匀分布，记为X ~ U (a, b)
X
⑵指数分布：f (x) V 其他0
(3) 正态分布:
21、随机变量函数的分布：设随机变量 X 的分布已知, 量丫的分布。
则称X 服从参数为的指数分布，记为 X~E()
1 (X- f(x ) h
2 )2
,则称X 服从参数为 ,的正态分布,
记为 X ~ N( , 2) 标准正态分布: 1 X ~N(0，1)，f(x) TT X 2
，分布函数
(X)0 土e%t 设 X ~ N( , 2)， 则X 的分布函数F(x) - Y g(X)，求随机变。