圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，︒=∠84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。

例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条11.如图，已知在ABC∆中，︒=∠90A，A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝13、△ABC中，AB=AC=10，BC=1214、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P条数为＿＿。

1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____BPAO2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120o,则⊙O 的半径= __, BC= ___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度6.如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;⑵若OD=3,半径5=r ,则AB= _cm, AC= ___ _ cm7.如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．(5) (6) (7)垂经定理及其推论例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ． 例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。

求证：CE=DF ．例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】 1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4B AB DC O · N MA BC D P O 。

1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M 。

且OM=3cm ，则CD= .2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm.3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 . ⊙O 的面积为 .5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 .6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于 .7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= . 8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 . 圆周角与圆心角例2：如图，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____. 例3：如图，圆心角∠AOB=100例４：如图１，AB 是⊙O 的直径，点D E =∠∠，则A B +=∠∠ o ．例5：如图2，⊙O 的直径CD过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．例6：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为 cm ．· A EF B CD O O A B C （例１）D例２例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF ⊥BD 于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习 1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒ B. 50︒ C. 80︒ D. 100︒ 2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3.△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°5.如图右上所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个6.下列命题中，正确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤ 7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ） A ．3 B ．5 C ．23D ．25 8.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。

9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台。

10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 。

A · OB DC G F 1E B E D A C O AB C O（第9题） A °ABO Cx P11.如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是 . 13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．（1）求证：DB 平分∠ADC ；（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、B 和C 、D ，求证：AB=CD ． 例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC. 例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ． 例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形． 综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的弧所对的圆心角相等 C 、相等的弦所对的弦心距相等 D 、弦心距相等，则弦相等 2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒30E D B A OC AB EFOP C 12D· O图 A BC ·OA B O C A E BD · O A DE CA B C O D E 如图 3 如图4 如图53．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ）A 、1cmB 、3cmC 、32cmD 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333±5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。