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概率论(曹显兵)
注: 若（0<P（B）<1）,则 A, B 独立 P（A|B）=P（A）
（P（B）>0）
P( A | B) P( A | B ) 1 （0<P（B）<1）.
P（A|B）=P（A| B ） （0<P（B）<1） P（ A |B）=P（ A | B ） （0<P（B）<1） （4） A, B, C 两两独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） P(A) 1 P(A)
（1） A 与 B 互斥（互不相容） AB （2） A 与 B 互逆（对立事件） AB , A B （3） A 与 B 相互独立 P（AB）=P（A）P（B）.
P（B|A）=P（B） （P（A）>0）.
P(B | A) P(B | A) 1 （0<P（A）<1）.
P（B|A） =P（B| A ） （ 0 < P（A） < 1 ）
（B）P（A B|C）＝P（A B）.
（C）P（A B| C ）＝P（A|C ）+ P（B| C ）. （D）P（A B|C ）＝P（A B）.
【例 6】 设事件 A, B, C 满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC） 1 , P（ABC）＝
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1 , 则事件 A, B, C 中至多一个发生的概率为
概率论与数理统计知识点汇编
第一讲 随机事件与概率
考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何
型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯 公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验 的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间 为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性， 则
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【例 4】 设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B）
＝P（C）< 1 ,且已知 P(A B C) 9 , 则 P（A）＝
.
2
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【例 5】 设三个事件 A、B、C 满足 P（AB）＝P（ABC）, 且 0<P（C）<1, 则 【 】
（A）P（A B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）.
（1） 一次取 3 个； （2） 一次取 1 个, 取后不放回； （3） 一次取 1 个, 取后放回. 【例 2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于 1.2； （2） 两数之和小于 1 且其积小于 3 .
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一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：
P(A) A中有利事件数 基本事件总数
3．几何概型：设 为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性， 则
P( A) A的度量（长度、面积 、体积） Ω的度量（长度、面积 、体积）
【例 1】 一个盒中有 4 个黄球, 5 个白球, 现按下列三种方式从中任取 3 个球, 试 求取出的球中有 2 个黄球, 1 个白球的概率.
i 1
i 1
（5）
若 A 1, A2 ,
…,
Байду номын сангаас
A 相互独立, n
则
n
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 [1P( Ai )].
i1
i1
i1
n
n
P( Ai ) P(Ai ) .
i1
i1
（6） 条件概率公式: P(B | A) P(AB) （P（A）>0）
P( A)
【例 3】 已知（A＋ B ）（ A B ）＋ A B A B ＝C, 且 P（ C ）＝ 1 , 试求 P（B ）.
（C ） A B 与 C
（D） AB 与 C
【例 9】 设 A，B 为任意两个事件，试证
P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ 1 .
4
三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式
1． 乘法公式：
P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A2 )P( A1 | A2 ). P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An1 ).
2． 全概率公式：
P(B) P(B | Ai )P( Ai ), Ai Aj ,i j, Ai .
i 1
i 1
3．Bayes 公式：
P(Aj | B)
P(B | Aj )P(Aj )
, A i Aj ,i j, Ai .
P(B | Ai )P(Ai )
i 1
i 1
4．二项概率公式:
Pn (k ) Cnk Pk (1 P)nk , k 0,1, 2, , n. ,
【例 10】 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品, 现从中任取 2 件, 若已知其中有一件为 次品,
试求另一件也为次品的概率. 【例 11】设 10 件产品中有 3 件次品, 7 件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.
.
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【例 7】 设事件 A, B 满足 P（B| A）＝1 则
【】
（A） A 为必然事件.
（B） P（B| A ）=0.
（C） A B .
（D） A B .
【例 8】 设 A, B, C 为三个相互独立的事件, 且 0<P（C）<1, 则不独立的事件为
【】
（A） A B 与 C .
（B） AC 与 C
（2） P( A B) P( A) P( AB)
（3） P( A B) P( A) P(B) P( AB)
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
（4）
若 A1,
A2,…,An 两两互斥,
n
n
则 P( A i ) P(A i ) .