【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形等）是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】1. 在四棱锥E ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ；EG （Ⅲ）若AB= 2CE,在线段EO上是否存在点G，使CG 平面BDE ？若存在，求出的值，若不EO存在，请说明理由．答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；Ⅲ) EGEO12 B2.如图所示，四棱锥P—ABCD 中，AB AD，CD AD，PA 底面ABCD ，PA=AD=CD= 2AB=2，M 为PC 的中点。

（1）求证：BM∥平面PAD；（2）在侧面PAD 内找一点N，使MN 平面PBD；（3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【答案】（1）见解析；（2）N 是AE 的中点；（3）．3试题解析：（1）M 是PC的中点，取PD的中点E，则ME 1CD ，又AB 1CD22四边形ABME 为平行四边形BM ∥ EA ，BM 平面PADEA 平面PADBM ∥ 平面PAD4 分）2）以A为原点，以AB、AD 、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B 1,0,0），C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，M 1,1,1 ，E 0,1,13. 如图1，在Rt ACB中，C 90°，BC 3，AC 6，D，E分别是AC ，AB上的点，且DE // BC，DE 2，将ADE 沿DE折起到A1 DE的位置，使A1C CD，如图2．Ⅰ）求证：A1C 平面BCDE ；Ⅱ）若M 是A1D的中点，求CM 与平面A1BE所成角的大小；Ⅲ）点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE ，求点P 到直线l的距离的最小值．答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）CM 与平面A1BE 所成角的大小45 ；（Ⅲ）点P到直线l 的距离有最小值12 65 65试题解析：（Ⅰ）Q 由题CD DE ，A1D DE ，CD A1D DDE 平面A1CD ，又Q A1C 平面A1CD ，A1C DE 又Q A1C CD ，DE CD D A1C 平面BCDE ．∴不妨取n r 1 ，2 ，3 又∵ M 1，0 ，3uuu ur CM1，0 ，3sin|cos CM ,n |uuuurCMr n 1 3 42，uuuurCMr n1 4 3 1 32 2 22，CM与平面A1BE 所成角的大小45 ．4. 在四棱锥P ABCD中，侧面PCD 底面ABCD ，PD CD ，底面ABCD是直角梯形，ADCAB // CD ，90o，AB AD PD 1，CD 2.（Ⅰ）求证：BC 平面PBD ；uuur uuur o（Ⅱ）设Q为侧棱PC上一点，PQ PC ，试确定的值，使得二面角Q BD P为45o.答案】解法uuur(Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ( 1,1,0) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 uuur uuuruuurPC (0,2, 1)， PQPC ， (0,1)所以 Q(0,2 ,1 ) ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分 uuur uuur设平面 QBD 的法向量为 n= (a,b, c) ， DB (1,1,0) ， DQ (0,2 ,1 )， uuur uuur 由 n DB 0 ， n DQ 0 ，得法二：（Ⅰ）∵面 PCD ⊥底面 ABCD ，面 PCD ∩底面 ABCD =CD ，PD 面 PCD ，且 PD ⊥CD取 CD 中点 E ，学科网连结 BE ，则 BE ⊥CD ，且 BE=1∴PD ⊥面 ABCD ，1分 又 BC 面 ABCD ，∴ BC ⊥ PD ①⋯. .分2在 Rt △FGQ 中，∠ FGQ =45°1）求直线 AP 与平面 SBC 所成角的正弦值； 2）求二面角 B —SC —D 大小的余弦值；PQ 平面 SDC ？若存在，求 PQ 的长；若不存在，请说明∵FQ//BC ，∴FQBCP P Q C 即 FQP PC QBC2 5xPF PQ PB PC即PF PQPCPB3 5x∵FG//PD ∴FG PD BF 即PBFGBF PBPD 11 5x. ⋯⋯分1021∴FQ=FG ，即 2 x 1 x55∴x2 5 1 5( 2 1)分⋯⋯ 11uuur uuur∵ PQ PC ∴ 5( 2 1)521分⋯⋯ 125. 如图，已知正四棱锥 S ABCD的底面边长为2， 高为 6，P 是棱 SC 的中点．［来源 学 科 网］3）在正方形 ABCD 内是否存在一点 Q ，使得答案】（1）直线AP 与平面SBC 所成角的正弦值为 2 7；（2）二面角B—SC—D 大小的余弦值为1；773）不存在满足条件的点Q.u r uuurn1 BC 0, u r uur,即n1 SB 0 x1y16z1uurn1 =( x1,y1,z1)，则uur，可取n1 =( 0, 6 ,1)，0,SBC 的法向量2 x1 0,6. 如图1，已知⊙O的直径AB 4，点C 、D为⊙O上两点，且CAB=45o，DAB 60o，F为弧BC 的中点．将⊙O 沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（Ⅰ）求证：OF // AC ；（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得FG//平面ACD ？若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C-AD- B的正弦值.答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）在弧BD上存在点G ，使得FG / /平面ACD ，且点G为弧BD的中点；（Ⅲ）2 7;7;（3 ）根据，∠ DAB =60°求出D 点坐标，然后求出平面ACD 的一个法向量，找出平面ADB 的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B 的余弦值．试题解析：（法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO ，Q CAB 45o，CO AB ，又Q F 为弧BC的中点，FOB 45o，OF//AC．（Ⅲ）过O作OE AD于E，连CE．因为CO AB，平面ABC 平面ABD，故CO 平面ABD．又因为AD 平面ABD ，故CO AD，所以AD 平面CEO，AD CE ，则CEO是二面角C-AD- B的平面角，又OAD 60o，OA 2，故OE 3．由CO 平面ABD ，OE 平面ABD ，得CEO 为直角三角形，又CO 2 ，学科网故CE 7 ，可得cos CEO= 3= 21，故二面角C-AD- B 的正弦值为 2 7 .7 7 7 （法二）：证明：（Ⅰ）如图，以AB所在的直线为y 轴，以OC所在的直线为z轴，以O 为原点，作空间直角坐标系O xyz ，则A 0, 2,0 ，C 0,0,2Q 点F 为弧 BC 的中点， 点F 的坐标为 0, 2, 2 ， uuur uuur uuur OF (0, 2, 2)， OF22AC ，即OF// AC ．7. 如图，在多面体 ABCDE 中，DB 平面ABC ,AE//DB ,且 ABC 是边长为 2的等边三角形， AE 1，（1）在线段 DC 上是否存在一点 F ，使得 EF 面 DBC ，若存在，求线段 DF 的长度，若不存在，说明理 由；CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为6 4uuurAC (0, 0, 2) (0, 2, 0) (0,2,2)，答案】（Ⅰ）存在F 为CD 中点，DF= 2 时，使得EF 面DBC （Ⅱ）648. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB BC 2AA1，ABC 90 ，D是BC的中点．（1）求证：A1B ∥平面ADC1 ；（2）求二面角C1 AD C 的余弦值；（3）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60 角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．2AD C的余弦值为；（3）当点E为线段A1B1中点时，AE 与DC13由ABC A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C 的中点.又D为BC中点，所以OD为△ A1BC 中位线，所以A1B∥OD ，成60 角.由二面角C1 AD C 是锐角，得cosn,v |n v| 2n v 3 8分2 所以二面角C1 AD C 的余弦值为.3( 3 )解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0, ,1) ，其中0 2.uuur uuuur所以AE (0, 2,1) ，DC1 (1,0,1)因为AE与DC1成60 角，所以uuuruuuurAE DCuuurAE DCuuuur11129.如图 所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 是菱形， AC I BD O , PAC 是边长为 2 的等边三角形， PB PD 6 , AP 4AF . Ⅰ）求证： PO 底面 ABCD ；Ⅱ）求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小； M ，使得 CM ∥平面 BDF ？如果存在，求 BM 的值，如果不存在，请 BP试题解析：解： （Ⅰ）因为底面 ABCD 是菱形， ACI BD O ,Ⅲ）在线段 PB 上是否存在一点答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ） 30o ；（Ⅲ）存在，BM BP1 3说明理由．精品文档2uuur uuur 1 uuur 3 由已知可得 OFOA 14 AP (43,0,6分n OB 0, 设平面 BDF 的法向量为 n (x, y,z)，则uuur 即 3 3 n OF 0,3x 3 z 0.44因为cosCP n8分9分所以直线 CP 与平面 |CP| |n |2BDF 所成角的正弦值为令 x 1 ，则 zCP n10. 如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视是BD 的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形(1) 求证:EM ∥ 平面ABC;(2) 试问在棱DC上是否存在点N,使NM ⊥平面BDE? 若存在,确定点N 的位置; 若不存在, 请说明理由.答案】(1)详见解析； (2)存在，CN 1 解析】图中的侧视图、俯视图. 在直观图中，M,有关数据如图所示11. 如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC A1 B1C1中，侧面A1ACC1 底面ABC ，A1AC 60 ．（1）求侧棱AA1与平面AB1C 所成角的正弦值的大小；（2）已知点D满足BD BA BC ，在直线AA1上是否存在点P，使DP //平面AB1C ？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．答案】（1）64 2）存在点P，使DP //平面AB1C .12. 如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA AB，CD//AB，且PA CD 2AB 4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角P DC B，连接PA、PB，设PB中点为E ．[来源:Z_xx_] （1）证明：平面PBD 平面PBC ；（2）在线段BD上是否存在一点F ，使得EF 平面PBC ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．（3）求直线AB与平面PBC 所成角的正弦值．答案】（1）详见解析；（2）点F 存在，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点；3) 66 2）解法一：由（1）的分析易知，PD DA,PD DC,DC DA ，则以D为原点建立空间直角坐标系易知这样的点F 存在，且为线段BD上靠近点D 的一个四等分点；8 分）解法二：（略解）如图所示，故所求角的正弦值为 6 . ..（12 分）13. 四棱锥 P ABCD 中， ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD .（1）求证： AB PD;2,PC 2,问 AB 为何值时，四棱锥 P ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值3）解法 由（uuur 1 1EF （ , , 1） 是平面 PBC 的一个法向量，又22uuur AB (0, 2,0) uuur uuur 则得cosEF,ABuuur uuurEF ABuuur uuur |EF ||AB|6 ，所以 uuur uuur 6 EF,ABarccos ，66记直线 AB 与平面 PBC 所成角为，则知uuur uuur 6 sin |cos EF,AB |62)若 BPC 90 ,PB弦值为 10 .5（2）求四棱锥体积，关键要作出高 .这可利用面面垂直性质定理： 过P 作AD 的垂线，垂足为 O ，又平面 PAD 平面ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD=AD ，所以 PO 平面 ABCD ，下面用 n 3表示高及底面积：设 AB m,，则 DP PG 2OG 24m 2 , ，故四棱锥 P-ABCD 的体 积为V 6 m m 8 6m . 故当 m6时，即 AB 6 时，四棱锥的体积 P-ABCD 最大 .3 3 3 3 3求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面 平面 DPC 的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可 .试题解析： （ 1）证明： ABCD 为矩形，故 AB AD ，又平面 PAD 平面 ABCD平面 PAD I 平面 ABCD=AD 所以 AB 平面 PAD ，因为 PD 平面 PAD ，故 AB PD答案】（1）详见解析，2) AB时，四棱锥的体积 P-ABCD 最大 . 平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余BPC 的法向量及ABCD 为正方形，设 F ，G ，H 分别为 PB ，EB ，PC 的中点 .存在，请说明理由14.如图 1)在平面四边形 ACPE 中， D 为 AC 中点， AD DC PD 2 ， AE 1，且AEAC,PD AC ，现沿 PD 折起使 ADC 900 ，得到立体图形如图 2)，又 B 为平面 ADC 内一点，并且 1) 求三棱锥 P GHF 的体积；2) 在线段 PC 上是否存在一点M ，使直线 FM 与直线 PA 所成角为 600若存在，求出线段的长；若不1 答案】（1） V1；（2）存在， PM 12试题解析：（ 1）因为 F,G 分别为 PB, BE 的中点，所以 FG//PE .又FG 平面PED ， PE 平面PED ， 所以 FG//平面 PED ，同理： FH //平面 PED .（2）因为 EA 平面 ABCD ， EA / /PD ，所以 PD 平面 ABCD ，所以 PD AD,PD CD .又因为四 边形 ABCD 是正方形，所以 AD CD .52 4如图，建立空间直角坐标系，因为AD PD 2EA 2 ，15. 如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD，AD⊥DC，AB ＝2，CD＝4．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面BDE ；[来源学§科§网]（Ⅱ）试在平面CDE 上确定点P，使点P 到直线DC、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．（Ⅱ）利用DE, DA,DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令n x , y , z 是平面BEF 的一个法向r uuurn EF0r量，则由r uur求出向量n x , y , z 的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点P 的坐标．n Eb0试题解析：又因为ED I BD D所以BC 平面BDE ．5 分解法二：因为平面ADEF 平面ABCD , ED AB所以ED 平面ABCD 1 分所以DE ,DA,DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA, DC, DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz（Ⅱ）因为平面ADEF 平面ABCD , ED AB 所以ED 平面ABCD所以DE , DA, DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA, DC ,DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz16. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，Ⅰ）若 PA PD ，求证：平面 PQB 平面 PAD ；答案】（1）证明过程详见解析； （ 2） PMPC解析】 试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考平面 ABCD ，且 PA PD AD2，点 M 在线段 PC 上，试确定点 M 的位置，使二Ⅱ）若平面 APD P P MC 的值.BAD 600，Q 是 AD 的中点 .1 3试题解析：（ 1）∵ PA PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ AD ，平面 PQB 平面 PAD;17. 如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD 90 ． F 为 PA 中点， PD 2 ，又 底面 ABCD 为菱形，BAD 600 ，∴ BQAD ,又 PQ IBQ Q ∴ AD平面 PQB ，又∵ AD平面 PAD,ABCD, 平面 PADI 平面 ABCD AD ,PQ AD ∴PQ 平面 ABCD.z 轴建 立空间直角坐标系如图QP 为 x ， y ，2） 平面 PAD 平面1 AB AD CD 1. 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交DE 于点 N ． 2（1）求证： AC // 平面 DEF ；（ 2）求二面角 A BC P 的大小；（3）在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为？ 若存在，请求出 FQ 的长;6若不存在，请说明理由．2） .（3）在线段 EF 上存在一点 Q ，且|FQ| |EF | 4夹角公式确定 的值．3）首先假设存在点Q 满足条件．由 uuur FE(01） ，再利用向量的答案】（1）详见解析； PNFDEC2uuur, E (0, 2, 2). 设 FQ 1F(12,0,18. 如图，ABC中，O是BC的中点，AB AC，AO 2OC 2．将BAO沿AO折起，使B点与图中B 点重合．（Ⅰ）求证：AO 平面B OC ；（Ⅱ）当三棱锥B AOC的体积取最大时，求二面角A B C O的余弦值；2 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B A上是否存在一点P，使CP与平面B OA所成的角的正弦值为？3 证明你的结论．（Ⅱ）在平面BOC 内，作BD OC 于点 D ，则由（1）及已知可得当 D 与O重合时，三棱锥B AOC的体积最大，并过O 点作OH BC 于点H ，连AH ，则AHC为二面角A BC O的平面角.在Rt AHC 中，易得cos AHC 的值，即为所求；［来源学_科_网］2 （Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段BA上中点P ，使CP与平面B OA所成的角的正弦值为2，3 r2 求出平面B OA的法向量n （0,1,0），根据CP与平面B OA所成的角的正弦值为2建立等式关系，即可求得3 结论.AO 平面BOC ，又BC 平面B OC ， BC AOAHO 即 为 二面角 A B C O 的平面角.:]Q AOI OH O ， B C 平面AOH ， B C AHRt AOH 中， AO 2，OH322cos AHOOH 1 AH 32又 CM PM M又∵ PC 平面 PCMEF ∥AB ．现将四边形 ABEF 沿 EF 折起，使得平面 ABEF 平面 EFDC ．uuurⅠ）当 BE 2 ，是否在折叠后的 AD 上存在一点 P ，且 APuuurPD ，使得 CP ∥平面 ABEF ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；Ⅱ）设 BE ＝ x ，问当 x 为何值时，三棱锥 A CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．答案】（1）存在 P 点，2；（2）当 x 4时，三棱锥 A CDF 的最大值 16 . 3∴平面 ABEF ∥平面 PCM 6分DⅡ）因为平面 ABEF 平面 EFDC ，平面 ABEF I 平面 EFDC ＝ EF ，又 AF EF ，由已知 BE ＝x ，所以 AF ＝x ( 0 x 6)，则 FD ＝8 x ．11∴V A CDF 2 (8 x) x 12 分32 1 1 1 8 x x 2 16故V A CDF2 (8 x) x ( )3 23 2 3当且仅当 8 x x ，即 x ＝4 时，等号成立20. 已知∠ACB ＝45°，B 、C 为定点且 BC ＝3，A 为动点，作 AD ⊥BC ，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B ， 如图 1。