线段之和最短问题一． 常见数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
lA3. 如图，直线和的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。
4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。
l 2l 1lABal 1A5。
如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM,ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。
6。
如图,点P,Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
N为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小NNN为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n)，当n =______时，AC + BC的值最小．B3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10,Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值．4．如图,在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
AEC B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x.(1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?（3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式错误!+错误!的最小值6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,突然发现了蜜糖.问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置.7．著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路x同侧，50kmAB A，、B到直线x的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．A'A BB8．如图，在锐角△ABC 中，AB = 错误!，∠BAC ＝45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．9．如图,△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值10．如图,四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小;②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为错误!时，求正方形的边长。
AN BE参考答案1．在平面直角坐标系中,有A （3，－2）,B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ）,当n =______时，AC + BC 的值最小． 点C （1，n ）,说明点C 在直线x=1上,所以作点A 关于直线x=1的对称点A'，连接A ’B,交直线x=1于点C ，则AC+BC的值最小设直线A ’B 的解析式为y=kx+b ，则 -2=—k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x —（6/5）当x = 1时，y = -（2/5）故当n = -（2/5）时，AC+BC 的值最小xy交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2,则OP = OP 1 = OP 2 = 10 且∠P 1OP 2 = 90° 由勾股定理得P 1P 2 = 10错误!4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
即是在直线AB 上作一点E,使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC ’交AB 于点E,则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。
在直角△DBC ’中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=错误!5．如图,C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC.已知AB=5，DE=1,BD=8，设CD=x 。
（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？（3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式错误!+错误!的最小值（1)AC = (8-x)2 + 25 ，CE = 错误!则AC+CE = （8—x 2 + 25) + x 2 + 1(2）A 、C 、E 三点共线时AC+CE 最小连接AE ，交BD 于点C ，则AE 就是AC+CE 的最小值 最小值是10(3）如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值 在直角△AEF 中，AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 1351x8-xFB D E CＣ'ＡＣE（3）．求代数式错误!（0≤x ≤4）的最小值 如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF 中AF = 3 EF = 4 则AE = 5 所以，这个代数式的最小值是56．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米,底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖.问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置. 析：展开图如图所示，作A 点关于杯口的对称点A ’。
则BA'=92+ 122=15厘米7．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A ，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客．如果拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． 分别作点A 、B 关于x 轴、y 轴的对称点A ’，B'，连接A ’B ’，交x 轴、y 轴于点P 、Q,则四边形PABQ 的周长最小构造如图在Rt △A'B ’C 中,B ’C = 30+30+40 = 100，A'C = 10 +40 =50 所以A ’B ’ = 错误! =50错误!32x12-xCF B E21x 4-x B C xy图(3)C Q PA'B'B A O A'A B B8．如图,在锐角△ABC 中，AB = 错误!，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．作点B 关于AD 的对称点B'，过点B ’作B'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F,则线段B ’E 的长就是BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰Rt △AEB ’中，根据勾股定理得到，B ’E = 49．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值作AB 关于AC 的对称线段AB ’，过点B ’作B ’N ⊥AB ，垂足为N ，交AC 于点M ，则B ’N = MB ’+MN = MB+MNB'N 的长就是MB+MN 的最小值则∠B ’AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB ’= 90°，∠B ’ = 30°.所以AN = 1 在直角△AB'N 中,根据勾股定理 B'N = 错误!10．如图，四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB;⑵ ①当M 点在何处时,AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为错误!时，求正方形的边长.AA线段之和最短问题11 / 11（2）①连接AC,交BD 于点M ，则AM+CM 的值最小②连接CE 交BD 于点M ，则AM+BM+CM 的值最小∵AM=EN ，BM=NM, ∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”,可知EN+NM+MC=EC 最短(3）过点E 作CB 的延长线的垂线，垂足为F设正方形ABCD 的边长为2x则在直角△BEF 中，∠EBF=30°，所以,EF=x ，根据勾股定理:BF= 3x在直角△CEF 中，根据勾股定理： CE 2 = EF 2 + FC 2得方程： 错误! 解得：x = 错误! 所以：2x = 错误!FEE。