第一章 集1、 常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N （2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*） （3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q （5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R （6）复数集合计作C（7）属于∈，不属于∉，并集⋃，交集⋂，真包含⊂，被真包含⊃，包含⊆，被包含⊇，不包含⊄，空集∅ 2、 集合部分（1）集合的三个特性：无序性、确定性、互异性（2）集合的分类：按元素的个数分为有限集合无限集；按元素的性质可分为数集和点集等 （3）集合的表示法：举例法、描述法、图示法 （4）集合的运算：①n 元集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集；②交集：=⋂B A ｛x/x A ∈且x B ∈｝ ③并集：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}④补集：CuA=｛x/A x ∉且x ∉｝（其中A ⊆ ） （5）集合中常用的运算性质：C B B A ⊆⊆,,则A=B ； C,B B,A ⊆⊆则C A ⊆； A A A =⋂， ∅=∅⋂A ;A A A =⋃ AB B A ⋃=⋃A A =∅⋃； ⋂A CuA=∅ A ⋃CuA=UB A A B A ⊆⇔=⋂ A B A B A ⊆⇔=⋃ A ⊆∅且∅≠A ,则A ⊂∅注意：元素与集合的关系包括：属于与不属于，分别用符号∈与∉表示，注意区分0和∅ 3、 简易逻辑部分（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题。

命题分为：简单命题（不含逻辑连接词的命题）和复合命题（由简单命题和逻辑连接词的命题组成的命题）（2)逻辑连接词：且、或、非这些词叫做逻辑连接词。

(3)复合命题的真值表p q ¬pq p ∨ q p ∧ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假假真假假（4）四种命题及其相互之间的关系原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p注意：原命题与它的逆否命题一定等价，即互为逆否的两个命题是等效的。

（5）充分、必要条件的判断①若p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件。

③若p q且q p，则p是q的充要条件；④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.⑤若p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件第二章函数1、函数的基本概念（1）映射的定义：设A、B是两个集合，如果按照某种法则ｆ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有对应的元素和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的映射，记作f：A→B（2）函数的定义：设A、B都是非空数集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)其中x∈A，y∈B，集合A叫做函数的定义域，集合C叫做函数的值域，其中C⊆B（3）函数的三要素：定义域、法则、值域（4）函数的表示方法：解析法、列表法、图像法。

注意：判断两个函数是否为同一函数，只需要判断这两个函数的定义域和对应法则是否相同。

（5）函数的定义域：使函数y=f(x)有意义的x的取值范围叫做函数y=f(x)的定义域。

∈｝叫做函数的值域，值域由函数的定义域和对应法（6）函数的值域：函数值的集合｛f(x)/x A则确定。

2、函数的常见性质（1）函数的单调性①增函数、减函数的定义：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时若都有f(x1) ＜f(x2)，则称f(x)在这个区间上是增函数；若都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数。

单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或者减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。

②函数单调性的求法方法一：定义法对于定义域内任意x1,x2，且x1<x2，f(x1)－f(x2)=…=…=…≤0（≧0）（判断f(x1)－f(x2)大于零还是小于零），所以f(x1)≤f(x2)（f(x1)≥f(x2) ）对于定义域内任意x1，x2，且x1<x2，使得f(x1)≤f(x2)（f(x1)≥f(x2) ），所以函数f(x)是增函数（减函数）。

方法二：导数法（定义域为（X1,X2） ） 对函数f(x)求导→判断f '(x)的符号：A 、 若f '(x)≥0，则函数在定义域内单调递增；若f '(x)≤0，则函数在定义域内单调递减B 、 若定义域内的a ∈（X1,X2）使f '(a)=0，再分开判断区间（X1,a ）和（a,X2）的单调性。

方法三：对于复合函数，可分别判断复合函数的内、外层的单调性，再根据“同增异减”的法则判断。

例如：函数y=)12(3-x ，内层为u(x)=2x-1,在定义域内单调递增；外层为f(u)=u 3，在定义域内也单调递增，内外层的单调性相同，根据“同增异减”，函数y=)12(3-x 在定义域内是单调递增的。

方法四：利用函数的奇偶性奇函数在对称的定义域上单调性相同，偶函数在对称的定义域上的单调性相反例如：已知函数f(x)是奇函数，且在区间（-3,0）上单调递减，那么它在区间（0,3）上也单调递减（2） 函数的奇偶性 ① 奇偶函数的定义：如果对于函数f(x)定义域内任何的x ，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)定义域内任何的x ，都有f(x)=-f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

如果函数是奇函数或者偶函数，我们就称函数具有奇偶性。

注意：判断函数的奇偶性的时候首先判断函数的定义域是否关于原点对称。

若不对称，函数肯定不具有奇偶性，若对称，再进行进一步判断。

有的函数既是奇函数又是偶函数。

具有奇偶性的函数图像的特点：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

② 奇、偶函数的判断步骤：判断函数的定义域是否关于原点对称， 如果不是，则函数f(x)是非奇非偶函数如果是，若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数 （3） 函数的周期性：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，使f(x)=f(x+T)都成立，那么f(x)是一个周期函数，T 是它的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正整数，就把这个最小的正数叫最小正周期。

3、 几种常见的函数及其相关知识 （1）二次函数二次函数的三种表示形式： 一般式：f(x)=a 2x +bx+c （a ≠0）顶点式：若二次函数的顶点为（-a b 2，a b ac 442-），则其解析式为f(x)=a(x+ab2)+a b ac 442-两根式：如果二次函数图像与x 轴有交点，交点为（x 1,0），(x 2,0),则其解析式为 f(x)=（x-x 1）（x-x 2）. 二次函数的图像和性质： ①函数关于直线x=-ab2对称，定义域为R ②当a>0时，开口向上，值域为（a b ac 442-，＋∞），在区间（-∞，-a b 2）单调递减，在区间（a b2，＋∞）单调递增；当a <0是，值域为（-∞，a b ac 442-），在区间（-∞，-ab2）单调递增，在区间（ab2，＋∞）单调递减 ③∆=ac b 42-，当∆>0是，函数图像与x 轴有两个交点；当∆=0时有一个交点，当∆<0时没有交点。

（2）指数与指数函数指数：n 次方的定义：若a x n=，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号。

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，哦的偶次方根是0， 负数没有偶次方根。

当n 为奇数时，nna =a ;a a n n =)(；当n 为偶数时，nna =|a|n mnm a a =，nmn m nm aa a1==--；其中a>0， m 、n 都是正数，n >1。

指数函数：函数y=x a (a>0，且a ≠1)叫作指数函数。

y=x a a>10<a<1 定义域 R 值域（0，+∞） 性质过定点（0，1）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y< 当x>0时，0<y<1;当x<0时，y>1 在（-∞，+∞）上是单调增函数在（-∞，+∞）上是单调减函数（3）对数与对数函数对数的定义：如果N a b= (a>0,a ≠1) 那么b 叫作a 为底N 的对数，记作b=log a N. 指数与对数的关系：N a b=⇔b=log a N （a>0,a ≠1，N >0）对数运算性质：log a (MN)=log a M+log a N log a NM=log a M －log a N log a M n =n log a M (M>0,n>0,a>0,a ≠1)对数函数：函数y=log a x (a>0,a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，定义域是（0，+∞） y=log a xa>10<a<1性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即x=1时，y=0当x>1时,y>o,当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0,当0<x<1时,y>o 是（0，+∞）的增函数是（0，+∞）的减函数指数函数与对数函数互为反函数，即y=log a x (a>0,a ≠1)是y=x a (a>0，且a ≠1)的反函数。

（4）复合函数：设y=f(u),u=g(x),当x 在u=g(x)的定义域Dg 中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为 y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量(即函数) 比如y=)12(3-x ,其中f(u)=u 3，g(x)=2x-1,Dg 是g(x)=2x-1的定义域，g(x)的值域是f(u)的定义域。

4、 反函数 反函数的定义： 若函数y=f(x)（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数x ，y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=g(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么x=g(y)就表示y 是自变量，x 是自变量的函数。