椭圆形封头卧式容器不同液面高度的容积计算
新疆工学院孟永彪
在设计卧式容器时，常常要计算不同液面高度所对应的容积，有时还需列出容积—液位高度对照表或图。
例如，在盛装有毒有害介质的卧式储罐设计中，要根据体积充装系数确定最高液面高度并加以标识。
在一般资料中仅能查到容器的全容积计算公式，而要计算不同液面高度下的容积则需设计者自行推导公式计算。
本文以标准椭圆形封头卧式容器为例介绍不同液面高度下的容积计算方法，并以液化石油气储罐为例编制了QUICK BASIC程序，此法仅供大家参考。
1卧式容器的组成
卧式容器是由筒体和两封头组焊而成（如图1），常用的封头为标准椭圆封头。
2卧式容器
2.1计算简图及说明
计算简图如图2。
L———筒体长度（两封头切线间的距离，含直边段长度）
D i———封头及筒体内直径
h i———封头曲面深度
2.2不同液面高度下封头的容积计算
如图2，可假想将卧式容器两端的曲面部分合并，则形成一个完整的椭球面。
2==i i
h R c a 122
222=++c
z a y x )(21222y x a z +-=dx
y x a dy h a y a )(2222022+-=⎰⎰--)323(23
331a h h a V +-=π
其中，a=b=R i
因此，椭球面的方程为：
推导出： 当容器内的液面高度为h 时（如图3所示）。
封头的容积公式推导：
对其积分得
从上式可看出，h 变化，V 1也随之变化。
2.3 不同液面高度筒体的容积计算
在计算筒体的容积时，忽略尺寸公差及制造误差等因素，可将其断面方程为
x 2+y 2=a 2的一圆柱体进行计算，那么如图3所示液面高度的筒体容积为：
令：y=acos θ dy=-asin θd θ
dxdy y x a V s )(2122221+-=⎰⎰
dx y x a dy h a y a y a )(2
122222
222+-=⎰⎰----dy y a L V h a
⎰--=2222dy y a L h -=222
当 y=-a 时，θ=π；当y=h 时，代入公式积分得：
2.4 卧式容器在不同液面高度下的容积
通过以上V 1,V 2的计算公式，可计算出卧式容器在不同液面高度下的容积之和V ：
3 利用QUICK BASIC 语言进行卧式容器的容积计算
要计算不同液位高度下的容积以表格、曲线的形式列出是很麻烦的，因此本文利用简便易行的QB 编制程序，当然编程语言可以有多种，本文愿起到抛砖引玉的作用。
例如：一台内径与长度任意的液化石油气（以丙烷为主）储罐，再不同特征温度下，根据体积充装系数，得出的最大液位高度；程序中从h=0.1m 开始，每隔1mm 计算一次容积，循环比较，得出最佳值。
5 DIM p(7), H(7),T(7)
8 INPUT "请输入储罐公称容积(立方米):"; GC
10 INPUT "请输入罐体内半径(m):"; R
20 INPUT "请输入罐体(两封头切线间)长度(m):"; L
30 INPUT "请输入最高工作温度下允许充装系数:"; c
40 INPUT "请输入罐体实际全容积(立方米):"; v
60 INPUT "请输入-20℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(1)
70 INPUT "请输入-10℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(2)
80 INPUT "请输入0℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(3)
90 INPUT "请输入10℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(4)
100 INPUT "请输入20℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(5)
110 INPUT "请输入30℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(6)
120 INPUT "请输入45℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(7)
)arccos 1(2
222π+--=a h a h a h La V )arccos 1()323(2223333
21ππ+--++-=+=a h a h a h La a h h a V V V
130 FOR I = 1 TO 7
140 k = c * p(7) / p(I)
145 T(I)=k
150 VK = v * k
160 FOR H = .1 TO R STEP .001
170 v1 = 3.1416 * (R ^ 2 * H - H ^ 3 / 3 + 2 * R ^ 3 / 3) / 2
180 VA = (R ^ 2 - H ^ 2) ^ .5
182 VB = VA / H
183 VC = ATN(VB)
184 VD = H * SQR(1 - H ^ 2 / R ^ 2) / R
185 v2 = L * R ^ 2 * (VD - VC + 3.1416)
210 VH = v1 + v2
220 DH = ABS(VK - VH)
230 IF DH <= .1 GOTO 300
240 NEXT H
300 H(I) = H + R
310 NEXT I
312 LPRINT GC; "立方米液化石油气储罐各工况条件下最高充装液位高度和充装系数" 313 LPRINT
314 LPRINT "-------------------------------------------------------------"
315 LPRINT
316 LPRINT "计算条件"
317 LPRINT
328 LPRINT "储罐公称容积(立方米):"; GC
330 LPRINT "罐体内半径(m):"; R
340 LPRINT "罐体(两封头切线间)长度(m):"; L
350 LPRINT "最高工作温度下允许充装系数:"; c
360 LPRINT "罐体实际全容积(立方米):"; v
370 LPRINT "-20℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(1)
380 LPRINT "-10℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(2)
390 LPRINT "0℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(3)
400 LPRINT "10℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(4)
410 LPRINT "20℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(5)
420 LPRINT "30℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(6)
430 LPRINT "45℃时丙烷饱和液体的密度(千克/立方米):"; p(7)
440 LPRINT
450 LPRINT "--------------------------------------------------------------"
460 LPRINT "计算结果"
470 LPRINT
520 LPRINT " -20℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(1);" 最高允许充装系数:";T(1) 530 LPRINT " -10℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(2);" 最高允许充装系数:";T(2) 540 LPRINT " 0℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(3);" 最高允许充装系数:";T(3) 550 LPRINT " 10℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(4);" 最高允许充装系数:";T(4) 560 LPRINT " 20℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(5);" 最高允许充装系数:";T(5)
570 LPRINT " 30℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(6);" 最高允许充装系数:";T(6) 580 LPRINT " 45℃时最高允许充装液位高度(m) "; H(7);" 最高允许充装系数:";T(7) 590 END。