二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。

故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。

将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即 y=xx 23212 . 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x 即y=-.27212+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x 3)3(22--=++x c bx=x .662+-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a∆就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。

再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6. 六、识图型例 6 如图1， 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212其中一条的顶点为P ，另一条与X 轴交于M 、N 两点。

（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？ （2）求两条抛物线的解析式。

解 （1）抛物线y=cx b x +++)2(212与x 轴交于M ，N 两点（过程从略）； （2）因y=d x b x +-+)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1, ∴b=2.∴Y=1212+x .将点N 的坐标与b=2分别代入y=221x +(b+2)x+c 得c=6. ∴y=221x+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x c bx ++2的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。

求其解析式。

解 将（0，-3）代入y=c bx x ++2得 c=-3.由弦长公式，得122+=b AB点P 的纵坐标为4122b --由面积公式，得.8412122122=--⋅+b b解得.2±=b因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.所以解析式为y=322--x x八、几何型例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解 由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m顶点C 的纵坐标为-4)4(2-m∵ΔABC 为等边三角形∴43214)4(2-⋅=--m m解得m=4,32±故所求解析式为y=,344)324(2+++-x x 或y=344)324(2-+--x x 九、三角型例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。

解 ∵A+B=900，∴sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧=⋅-=+c A A b A A cos sin cos sin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2⨯-,得,125242=-b ∴57±=b ∵-b ,0〉∴b=-57所以解析式为y=2512572+-x x十、综合型例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ⋅=⋅ 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2=OA ·OB ， ∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OC OA OC即21121=--XX∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2 所以解析式为y=-x2+2x+1待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 对于任何的实数t ，抛物线 y=x 2+ (2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )A. (l, 3)B.（-l, 0)C.（-1, 3)D. (1, 0)2．如图所示为抛物线2y ax bx c =++的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b +=-B ．1a b -=-C ．2b a <D ．0ac <3．在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1，小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是( ) A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-6．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( )已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x ＝2．二、填空题7．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_ _______．8．已知二次函数对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，与y 轴交点为(0，-2)， 则此二次函数的解析式为 ． 9．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标为x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … -2 -1 0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法中正确的是__ ______．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）；②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是12x =；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 10．某同学利用描点法画二次函数，2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：x 0 1 2 3 4 y3-23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：________．11．如图所示，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为________．第11题 第12题12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A （1，0），B （0，-2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为 ； （2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ，则抛物线的解析式为 ．三、解答题13．已知2y ax bx c =++(a ≠0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P 到AB 的距离为2，求此抛物线的解析式．14．有一个二次函数的图象．三位同学分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x ＝4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．15．已知，如图所示，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点7,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线2y ax bx c =++上的一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ；【解析】把 y=x 2 + (2-t) x + t 化为y=x 2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数t ，抛物线 y=x 2+ (2-t) x + t 总经过一个固定的点，所以与t 的值无关，即1-x=0，x=1,代入 y=x 2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.2.【答案】B ；【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入2y ax bx c =++中得0,1,a b c c -+=⎧⎨=⎩ ∴ a-b ＝-1．3.【答案】C ；【解析】先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，可得新抛物线为22y x x -=+-，再将抛物线为2()()2y x x -=-+--，整理得22y x x =-++．4.【答案】D ； 【解析】由题意知22ba-=，4b a =-．又30a b ++=，所以1a =，4b =-， 即解析式为243y x x =-+，再一一验证．5.【答案】D ；【解析】此题容易误选A 、B ，简单地认为改变。