第一章 代数运算与自然数
主要内容：
1、集合与映射的概念
2、映射及其运算
3、代数系统
4、自然数及其他相关定义
5、归纳法原理与反归纳法的运用
重点掌握
1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。

2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。

3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象
4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。

5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。

6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+.
7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =⨯1;②：a b a b a +⨯=⨯'
8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b<a.
9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M 若满足：
(1))2(;1M ∈如果a 属于M,则它后面的数a ’也属于M.则集合M 含有一切自然数，即M=N.
10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。

11、若|A|=m ，|B|=n ，则A →B 的所有不同映射的个数为m n 。

12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。

13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。

14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。

15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。

16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。

可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射
17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。

可考虑分段映射
18、代数系统(+R ,⨯)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R
表示实数集合，⨯与+就是通常的实数乘法与加法。

根据同构定义，只需找到一个从(+R ,⨯)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。

19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2
b a b a +=⊕，ab b a =∙ 则： （1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。

（2）{+Q ,∙}不构成代数体系，但满足结合律。

根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。

20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。

只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立
21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。

归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++=
1
...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立。