(3)晶格振动频率在 0~D之间
(D为德拜频率)。
E0DekB T112()d
9N2
D3
爱因斯坦模型
CV
3NkBfETE
f
E
T
E
T
2
E
eT eET 12
德拜模型
CV
3NkB
f
D
T
fTD3TD3
D
T
0
exex12x4dx
高温时与实验相吻合，低温 高低温时均与实验相吻合，且 时以比T3更快的速度趋于零。 温度越低，与实验吻合的越好。
x 2n 1A e it 2n 1aq
O
A
x2n Beit2na q
π
o
πq
2a
2a
2 {m ( M )m 2 M 2 2 m cM 2 o a}s q mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(nN)
三维晶格振动、声子
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。
2.频率分布函数
定义：
()
n
li m 0
计算：
3n
V c
1 2π3 s
ds
qq
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型
(1)晶体中原子的振动是相互 独立的； (2)所有原子都具有同一频率
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E3NekBT 112
(1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
3 4
g c2
kBT
1 3
CV
v
高温时:
1 T
低温时: T3
固体物理 电子教案 3.8第三章 总结
一维晶格振动
格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微
振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子
振动在晶体中形成格波。
振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的
高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项
的近似)。
fnkd dr2u2r0 xnknkxnk
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
U (R 0)U (R 0)2 1 ! R 2U 2 R 023 1 ! R 3U 3 R 03 c2 g3
2.声子与声子相互作用：
q11q2q23K h3((12))
3.晶体的热膨胀现象： 4.晶体的热传导现象：
eu kBT d
eu d kBT
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项 b1W 1为准弹性恢复力，
第二项表示电场 E 附加了恢复力。 (2)式代表极化方程，b2W 1表示离子位移引起的极化，第
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系
2 T
0
2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
(1 ) s , L o To
(2)铁电软模(光学软模) 1/2
S
TO0
3.极化声子和电磁声子
0
因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观
的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。
长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学
横波声子为电磁声子。
பைடு நூலகம் 确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
P'2 P2
(q)
2Mn 2Mn
“+”表示吸收一个声子
P ' P q K h “-”表示发射一个声子
3.仪器： 三轴中子谱仪。
晶体比热
1.固体比热的实验规律 (1)在高温时，晶体的比热为3NkB； (2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。
N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。
声子：晶格振动的能量量子。能量为, 准动量为 q 。
3nN个振动模式
3nN种声子
3N种声学声子， (3n-3)N种光学声子。
长波近似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W b1W 1b1
2E
Pb2W 1 b22E
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
xnAeitnaq
2 sinaq
m2
2 m
π q π
a
a
xn xnN
π a
o πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2
M
m
..
a
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
x ..
m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1