（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b) a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a(b) .
（3）当 0 时，
a 与b，a 与b的夹角都为180 . (a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos

ab | a || b |
(5) | a || b | ≤ a b ≤ | a || b | ，即 | a b | ≤ | a || b |
6．向量数量积满足那些运算律？如何证明？
数量积的运算律： 已知向量 a 、b 、c 和实数 ，则
2. a在b方向上的投影是指什么 ？b在a方向上的投影呢？
如图作OA a，OB b ，过点B作BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则
OB1 | b | cosθ
B
B'
b

| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． | a| cosθ叫向量 a在 b方向上的投影．
O
a B1 A
c (a b) c a c b
(a b) c a c b c .
实数运算与平面向量的数量积的区别
1.在实数运算中有：a b a b
在向量中，有 a b a b吗？ a b a b
2.在实数运算中有： a 0, a b 0,则b 0
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a(b) . 综上所述：(a)b (a b) a (b)
⑶分配律： (a b)c a c bc
证明：如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b | a || b | cos
3．向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？
什么时候为负？什么时候为零？
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 b
OaB B1 ABθ为钝角时，
b | b | cosθ＜0

B1 O
aA
B b θ为直角时，
| b | cosθ=0

O(B1 ) a
A
4．向量数量积的几何意义是什么？ 数量积的物理意义： W=F ·s =|F||s|cosθ
F θ
s
数量积的几何意义：a b等于 a 的长度| a | 与 b
在 a 的方向上的投影| b | cos 的乘积。 B
b
ab | a || b | cos

a
O
B1
| b | cos
A
5.向量的数量积有那些性质？为什么？请你证明
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定.
（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的， a ·b不能写成 a×b 或 ab . （3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的 范围是 [ 0°，180°]．
先看一个物理问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功 应当怎样计算？
F
θ s
W = |F||s| cosθ 其中θ是 F 与 s 的夹角 .
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。
先看一个概念-----向量的夹角
已知 两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB (0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
A
a b ( 即 OB ) 在 c 方向上的投影等于
2
a 、b 在 c 方向上的投影的和 ，即 a
b
B
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 .
1
O
A1 c B1
C
| c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
平面向量的数积及运算率
【学习目标】
1.认识理解平面向量数量积的含义及物理意义，体会 平面向量的数量积与向量投影的关系。
2.掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用 平面向量数量积的定义、运算律进行运算。
【问题导学】
自主学习
阅读课本P103—P105，回答下列问题
1．向量数量积的定义是什么？
由数量积的定义，可得以下重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与
e的夹角，则
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | | b |，当a 与b 反向 时， a ·b =－| a | | b | ．
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a) b (a b) a (b)
⑶分配律： (a b)c a c bc
⑵数乘的结合律： (a)b (a b) a (b)
证明： 设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
B b

a
Ob B
A
当 0，a 与b 同向；
Oa
A
B
b
a
B
O
A
当 180，a 与b 反向；
b
a
O
A
当 90，a 与b 垂直.
记作 a b
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即