第二十四章圆章末检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=7，则P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定3．如图，A，B，C在⊙O上，∠OAB=22.5°，则∠ACB的度数是（）A．11.5° B．112.5° C．122.5° D．135°第3题图第5题图第7题图第8题图4．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补5．如图所示，在一圆形展厅的圆形边缘上安装监视器，每台监视器的监控角度是35°，为了监视整个展厅，最少需要在圆形的边缘上安装几个这样的监视器（）A．4台 B．5台 C．6台 D．7台6．已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．外切7．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于（）A．r B．．3r8．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．10π-8 B．10π-16 C．10π D．5π第9题图第10题图10．如图，已知直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．172二、填空题（每小题3分，共24分）11．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设__________________.12．如图，P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC=OD，如果∠P=24°，则∠DOB=________.第12题图第13题图第14题图第15题图13．如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为___________.14．如图同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则圆环的面积为____________.15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是⊙O上一点，则∠CFD=____°.16．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．第16题图第17题图第18题图17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为_______________.18．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为__________.三、解答题（共66分）19．（6分）如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大.（1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积．第19题图第20题图20．（6分）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于F，G，延长BA交圆于E．求证：EF=FG．21．（8分）如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．第21题图第22题图第23题图22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA，PB，PC，PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．23．（8分）如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．（1）求正六边形与正方形的面积比；（2）连接OF，OG，求∠OGF．24．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．第24题图第25题图第26题图25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．附加题（15分，不计入总分）26．（12分）如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A立即停止运动．（1）如果∠POA=90°，求点P运动的时间；（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题1．C ；提示：①②③正确，不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故④错误. 2．C ；提示：因为OP=7＞5，所以点P 与⊙O 的位置关系是点在圆外． 3．B ；提示：：∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠AOB=135°，在优弧AB 上任取点E ，连接AE 、BE ，则∠AEB=12∠AOB=67.5°，又∵∠AEB+∠ACB=180°，∴∠ACB=112.5°，4．A ；提示：设正多边形是正n 边形，则它的一边所对的中心角是360n︒，正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360n︒，所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等．5．C ；提示：如图，连接BO ，CO ，∵∠BAC=35°，∴∠BOC=2∠BAC=70°.∵360÷70=517，∴最少需要在圆形的边缘上安装6个这样的监视器．6．C ；提示：∵⊙O 的直径是10，∴⊙O 的半径r=5.∵圆心O 到直线l 的距离d 是5，∴r=d ，∴直线l 和⊙O 的位置关系是相切，故选C ．7．B ；提示：∵圆的半径为r ，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr ．设圆锥的母线长为R ，则120180Rπ=2πr ，解得：R=3r ．根据勾股定理得圆锥的高为，故选B ．8．D ；提示：A 、∵点C 是EB 的中点，∴OC ⊥BE.∵AB 为圆O 的直径，∴AE ⊥BE.∴OC ∥AE ，本选项正确； B 、∵BC =CE ，∴BC=CE ，本选项正确；C 、∵AD 为圆O 的切线，∴AD ⊥OA.∴∠DAE+∠EAB=90°. ∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA ，本选项正确； D 、由已知条件不能推出AC ⊥OE ，本选项错误.9．B ；提示：设各个部分的面积为：S 1、S 2、S 3、S 4、S 5，如图所示：∵两个半圆的面积和是：S 1+S 5+S 4+S 2+S 3+S 4，△ABC 的面积是S 3+S 4+S 5，阴影部分的面积是：S 1+S 2+S 4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积为12π×16+12π×4-12×8×4=10π-16． 10．C ；提示：∵直线y=34x-3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，-3）. 即OA=4，OB=3，由勾股定理，得AB=5. 过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ， 则由三角形面积公式得：12×AB×CM=12×OA×OC+12×OA×OB ，∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=165.∴⊙C 上点到直线y=34x-3的最大距离是1+165=215.∴△PAB 面积的最大值是12×5×215=212.二、填空题11．一个三角形中有两个角是直角；提示：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．12．72°；提示：连接OC ，如图，∵PC=OD ，而OC=OD ，∴PC=CO ，∴∠1=∠P=24°，∴∠2=2∠P=48°，而OD=OC ，∴∠D=∠2=48°，∴∠DOB=∠P+∠D=72°．13．10cm ；提示：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，则AD=12AB=12×8=4cm .设OA=r ，则OD=r-2，在Rt △AOD 中，OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=（r-2）2+42，解得r=5cm ．故该输水管的直径为10cm. 14．9π；提示：∵大⊙O 的弦AB 切小⊙O 于P ，∴OP ⊥AB.∴AP=BP=12AB=12×6=3. ∵在Rt △OAP 中，AP 2=OA 2-OP 2，∴OA 2-OP 2=9.∴圆环的面积为：πOA 2-πOP 2=π（OA 2-OP 2）=9π．15．36；提示：如图，连接OD 、OC ；∵正五边形ABCDE 内接于圆O ，∴DC =15×⊙O 的周长.∴∠DOC=15360×°=72°.∴∠CFD=12×72°=36°． 16．5；提示：如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ；∴PA=PB ；同理，可得：DE=DA ，CE=CB ；则△PCD 的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm ）；∴PA=PB=5cm. 17．1或5；提示：当⊙P 位于y 轴的左侧且与y 轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P 位于y 轴的右侧且与y 轴相切时，平移的距离为5．18．2π-4；提示：由题意得，阴影部分面积=2（S 扇形AOB -S △A0B ）=2（2902360π⨯-12×2×2）=2π-4．三、解答题 19．解：（1）如图所示：（2）设三角形内切圆半径为r ，则12•r•（50+40+30）=12×30×40，解得r=10（cm ）． 故此圆凳面的面积为：π×102=100π（cm 2）．第19题答图 第20题答图 20．证明：连接AG ．∵A 为圆心，∴AB=AG.∴∠ABG=∠AGB.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∠AGB=∠DAG ，∠EAD=∠ABG. ∴∠DAG=∠EAD ，∴EF =FG ．21．解：（1）∵OA ⊥BC ，∴AC ＝AB .∴∠ADC ＝12∠AOB. ∵∠AOB=56°，∴∠ADC=28°； （2）∵OA ⊥BC ，∴CE=BE=12BC=3. 设⊙O 的半径为r ，则OE=r-1，OB=r ，在Rt △BOE 中，OE 2+BE 2=OB 2，则32+（r-1）2=r 2.解得r=5． 所以⊙O 的半径为5.22．解：当BD=4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形．理由如下： ∵P 是优弧BAC 的中点，∴PB =PC ．∴PB=PC ．在△PBD 与△PCA 中，4PB PC PBD PCA BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∴△PBD ≌△PCA （SAS ）．∴PD=PA.即BD=4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形．（2）∵OF=EF=FG ，∴∠OGF=2（180°-60°-90°）=15°． 24．解：（1）证明：连接OD ， ∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ODB=∠ACB.∴OD ∥AC. ∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD.∴DF ⊥AC ． （2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°.∴∠BAC=45°. ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°.∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE ==⋅⋅3604902π4π，S △AOE =12×4×4=8 ，∴S 阴影=4π-8． 25．解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角，∴∠B=∠D=60°.（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°．又∠B=60°∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA ⊥AE. ∴AE 是⊙O 的切线.（3）如图，连接OC ，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°.∴劣弧AC 的长为1204180＝83π．附加题26．解：（1）当∠PO A=90°时，根据弧长公式可知点P 运动的路程为⊙O 周长的14或34，设点P 运动的时间为ts.当点P 运动的路程为⊙O 周长的14时，2π•t=14•2π•12，解得t=3； 当点P 运动的路程为⊙O 周长的34时，2π•t=34•2π•12，解得t=9.∴当∠POA=90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ．（2）如图，当点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切.理由如下： 当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4πcm ，连接OP ，PA. ∵半径AO=12，∴⊙O 的周长为24π.∴AP 的长为⊙O 周长的16.∴∠POA=60°. ∵OP=OA ，∴△OAP 是等边三角形.∴OP=OA=AP ，∠OAP=60°. ∵AB=OA ，∴AP=AB.∵∠OAP=∠APB+∠B ，∴∠APB=∠B=30°.∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°.∴OP ⊥BP ，∴直线BP 与⊙O 相切．。