手拉手模型
【课堂导入】
什么是手拉手相似基本图形？与手拉手全等的基本图形类似，手拉手相似要比手拉手全等更具有一般性。

在上面右侧的四个图形中，每一个图形中都存在两对相似三角形，△ADE∽△ABC，
△ADB∽△AEC，这两对相似三角形是可以彼此转化的。

【例1】 已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD ，BE.
（1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的数量关系和位置关系；
（2）△ABC 固定不动，将图 1 中的△DEF 绕点M 顺时针旋转 （ 0o ≤ ≤ 90o ）角，如图 2 所
示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立， 说明理由；
【
例2】
以
平
面
上
一
点
O
为
直
角
顶
点
，
分
别
①如图 1，当点D 、C 分别在 AO 、BO 的延长线上时
EM FM ②如图 2，将图 1 中的△AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转60度 角，其
他条件不变，判断EM
FM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
【例3】 如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点 E ，F 分别是线段 BC ，AC 的中点，连结 EF ． （1）线段 B E 与 A F 的位置关系是_______， BE
AF =_______． （
2
）
如
图
2
，
当
△
C
E
F
绕
点
C
顺
时
针
旋
转
α
时
（
°
＜
α
＜
【例4】 如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E 、F 分别是 AB 、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接 AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD=∠BGC ． （1） 求证：AD=BC ． （2） 求证：△AGD ∽△EGF ． （3） 如图 2，若 AD 、BC 所在直 线互相垂直，求 E F A D 的值．
【
例5】 如
图
1
，
△
A B C
为
等
腰
直
角
三
角
形
，∠A C B =90
°，
(1)①猜想图 1 中线段 BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图 1 中的正方形 CDEF ，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图 2、图 3 的情形．图 2 中 BF 交 AC 于点 H ，交 AD 于点 O ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断．
(2)将原题中的等腰直角三角形 ABC 改为直角三角形 ABC ，∠ACB=90∘，正方形 CDEF 改为矩形 CDEF ，如图4，且 AC=4，BC=3，CD= 4 ，CF=1，BF 交 AC 于点H ，交 AD 于点O ，连接 BD 、AF ，求 BD 2 +AF 2 的值．
3
手拉手（二）
【例1】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC 与DCE 是等边三角形，连结BD ，AE 分
别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM= CN ．
【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形，求证：DE∥AB ．
【例3】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形，求证：CF 平分 AFB ．
B
【例4】如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90︒，AB =AC ，AD =AE ．．连接BD 交AE 于M ，连接CE 交AB 于N ，BD 与CE 交点为F ，连接AF ．（1）如图1 ，求证：BD=CE ；
（2）如图1 ，求证：FA 是∠CFD 的平分线；
（3）如图2 ，当当AC = 2 ，∠BCE =15︒时，求CF 的长．
【例5】已知△ABC，以 AC 为边在△ABC 外作等腰△ACD，其中 AC=AD
（1）如图①，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形A BCD 是平行四边形，则∠ABC= （2）如图②，若∠ABC=30°，△ACD 是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD 的长（3）如图③，若∠ACD 为锐角，做AH⊥BC 于H，当BD2 = 4AH2 + BC2时，
∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，请证明你的结
论。