n2 4b2
1 ，可得 2cm 3c2
a2 ，
即有 m a2 3c2 a ，解得 e 1 ，
2c
3
又 0 e 1 ，所以 e (1 ,1) ． 3
4
4．已知过抛物线 C : y2 4x 焦点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点，交圆 x2 y2 2x 0 于 M ， N 两点，
∴ 6a2 b2 4c2 2 b 2c b 4c2 3b2 4c2 3(c2 a2 ) ， c
即 3a2 c2 ，即 3a c ，∴ e c 3 ，故选 C． a
例 3：已知定点 A(1, 3) ，点 M 是抛物线 C : y2 4x 上的动点，则 MA （其中 F 为抛物线 C 的焦点）的
y 轴交于
OP
点 M ， BM 与 PP 的交点 N 恰为线段 PP 的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 3
D． 1 3
【答案】D
【解析】设 P(x0, y0 ) ，则 P(x0,0) ，
OP OP
(1, 0) ，
由题意 OP
OP
c ，得
P
的横坐标为 c ，
2021 届高三精准培优专练
培优点十九 圆锥曲线综合
一、圆锥曲线综合
例
1：已知 O 为坐标原点，
A
，
B
分别是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上且
位于第一象限，点 P 在 x 轴上的投影为 P ，且有 OP
OP
c （其中 c2
a2
b2 ）， AP 的连线与
ac
ac
a(a c)
∵直线 PP 的方程为 x c ，∴点 N (c, b2 (a c)) ， a(a c)
∵ N 恰为线段 PP 的中点，∴ 2 b2 (a c) b2 ， a(a c) a
整理可得 a 3c ，则 e c 1 ． a3
例
2：设 F1 ， F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（a ，b
0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一
1
条渐近线的垂线，垂足为 P ，若 PF1 6 OP ，则 C 的离心率为（ ）
A． 5
B． 2
C． 3
D． 2
【答案】C
【解析】双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1 （ a ， b 0 ）的一条渐近线方程为 y
b a
x，
∴点 F2 到渐近线的距离 d
bc a2 b2
b ，即
PF2
b，
∴ OP
OF2 2 PF2 2
c2
b2
a ， cos PF2O
b c
，
∵ PF1 6 OP ，∴ PF1 6a ，
在三角形 F1PF2 中，
由余弦定理可得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF2 F1F2 cos PF2O ，
设垂足为 B ，由题意知圆心 A(2, 0) 到渐近线的距离 d 4 3 1，则易知 AOB π ， 6
所以两渐近线相夹所成的锐角为 π ． 3
2．如图，过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，交准线 l 于点 C ，若 CB 2BF ，
2
3．已知点
F1
，
F2
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左右焦点，椭圆上存在不同两点 A ， B 使得 F1A 2F2B ，
则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． (1 ,1) 3
B． (0, 1) 3
C． (1 ,1) 2
D． (0, 1) 2
【答案】A
【解析】极限法：当 A, B 重合于右顶点时，有 a c 2(a c) ，此时 e 1 ， 3
当 e 1 时，椭圆越扁，显然存在，故 e (1 ,1) ．
3
3
或：如图，
E
为线段
AF1
中点，设
A(m,
n)
，则
E
(
m
2
c
,
n 2
)
，
F1 A
2F2 B
，
可知
F1E
F2 B
，则
B
(
m
2
3c
,
n 2
)
，
点
A, B
在椭圆上，有
m2 a2
n2 b2
1 ，代入
m2 4a2
6cm 9c2 4a2
k2
取最大值，由 lMA
:
y
3 2
k(x
1)
，可得
x
y k
3 2k
1，
代入抛物线 y2 4x ，得 y2 4( y 3 1) ， k 2k
2
即
y24 kຫໍສະໝຸດ y6 k4
0
，
Δ
0
，可得
16 k2
4( 6 k
4)
0
，解得
k
2
或
k
1 2
，
故 k2 的最大值为 4 ，即 ( MA )2 k 2 1 的最大值为 5 ，即 MA 的最大值为 5 ．
2
MF
最大值为（ ）
A． 2
B． 5 2
【答案】C
C． 5
D． 3
【解析】如图，作 MN 准线 l 于点 N ，则 MA MA 1 ， MF MN cosNMA
设 MA 的倾斜角为
，则
1 cos2NMA
1 cos2
sin2 cos2 cos2
k2
1（ k
kAM
），
当
MA
与
y2
4x
相切时，
其中 P, M 位于第一象限，则 1 4 的值不可能为（ ） PM QN
A． 3
B． 4
【答案】A
【解析】如图，设 PF m ， QF n ，
OP
由
c2 a2
y2 b2
1 ，得
y
b2 a
，∴ P(c, b2 ) ， a
∵ A(a,0) ， B(a,0) ，∴直线 PA 的方程为 y b2 (x a ) ， a(a c)
令 x 0 ，则 y b2 ，∴ M (0, b2 ) ，∴直线 BM 的方程为 y b2 (x a ) ，
MF
MF
对点增分集训
一、选择题
1．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0)
的渐近线被圆 (x 2)2
y2
4
截得的弦长等于 2
3 ，则双曲线两条渐近
线相夹所成的锐角为（ ）
A． π 6
B． π 3
C． π 2
D． 2π 3
【答案】B
【解析】过圆心 A(2, 0) 作渐近线 y b x 的垂线， a
AF 6 ，则抛物线的方程为（ ）
3
A． y2 x 【答案】C
B． y2 3x
C． y2 6x
D． y2 9x
【解析】作 AM ， BN 垂直准线 l ，垂足分别为 M ， N ， CB 2BF ，即 BC 2 BF ，可得 BC 2 BN ，
则 BCN 30 ， AF AM 6 ， AC 2 AM 12 ， 所以 F 是线段 AC 中点，所以 2 OF p 1 AM 3 ，则 y2 6x ．