化中心的主矩。 主矢为
Fi FR
i 1
n
与简化中心无关 (力系第一不变量)
主矢唯一；主矢是自由矢 主矩为
M O M O (Fi ) (一般) 与简化中心有关
i 1
n
主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢
主矢量和主矩的计算 ●主矢量F'R的计算
x Fxi FR y Fyi FR
定理：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动
到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F A B
加平衡力系 (F'， F")
F A B F"
F'
A
将力偶(F，F") 用M代替
F' M B
F'= F(大小相等，方向相同)
M=MB(F )
M=F· d
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行 的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个 力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用 一个位于力偶作用面内的力来等效替换。
F2
60° B F3
FR
FRx FRy
2
y A 2m
2
0.974kN
x FR , i cos FR 0.614 FR
F1
F'R
3m C
F4 30° x
, i 526' FR
y FR , j cos FR 0.789 FR
MO F1 Od
F'R FR
3m C
F4 30° x
距离为：
MO d 0.51m FR
例
100mm
y
4 2 1 Fx F1 5 F2 2 F3 5 100 3 2 2 F F F F y 1 5 2 2 3 5 100
300mm
M1
平面力偶系
力偶的作用效应
M2 Mn
平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶）
此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代 数和
M M i M1 M 2
i 1
n
Mn

平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件为:
M Mi 0
i 1
n
例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的 受力图；求A、C处的约束力。
d
A
F
B
MO(F)=±Fd=±2Δ OAB ●力矩的性质： O d A F
1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零；
2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定 点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。
2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
一 力偶及力偶矩矢 B F' 力偶的定义
F1
F2
A
FR
Fn
M M B (FR ) M B (Fi )
i 1
n
FR′ A B M
即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点 之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这 称为平面一般力系的合力矩定理
例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端 点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之 矩。
●平面一般力系平衡方程的其它形式
Fx 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M C Fi 0
二矩式
适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直
如：
C
F
C
F
C
M
F'
(a)
(b)
(c)
4 平面一般力系向作用面内一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2 、…Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那 样，用力的平行四边形法则来合成它。
F1
F2
Fn
简化中心
F1 F2
F'1
M1
O
F'n Fn
(a) (b) Mn
F'2 M2
F'R O MO
FR
,i cos FR
2
x FR
Fxi Fyi
2
,j cos FR
y FR
FR
FR
●主矩ＭO的计算
MO M MO Fi
二、简化结果分析 1 F'R= 0, MO≠0 原力系合成为力偶。
这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。
B r A D l M C
受力分析:
F'B
B FA A FB B
45°
M D C FC
结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的Ｃ、B 二处分别受有一 个方向虽 然未知、 但可以判断出的力。
3 力的平移定理
?问题的产生
平 面 一 般 力 系
F1
FR12 F2 F'3 O2
O1
F3
?
空间一般力系 力与力偶，如何合成
2 F'R≠0, MO= 0 原力系合成为一个力。作用于点O 的力F'R就是 原力系的合力。
3 F'R≠ 0, MO≠0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力, 这时力系可进一步合成为一个力。
y
FR FRy FRx F'R MO x

O'(x,0)
d O
d
d
MO
FR
x d
MO cos F Ry
F1
3 4
200mm 1 1
F2
x
M FR
º
1 2
MO
F'R
F3
100 2N FR
, i 2 2 cos FR
, j 2 2 cos FR
M O M O (Fi ) F2 sin 45 0.2 F3 1 5 0.1 40 30N.m
M A Fi 0 或者: M B Fi 0
注意： AB与各Fi不平行。
两个独立方程！
图示F1，F2，F3------FN为一平面力系，若力系 平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是 ( B )。
简单的力系
性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作 用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用
性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地 改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响 力偶对刚体的作用效应 F' d F 0.5F' 2d 0.5F M=Fd
此性质称为力偶等效性质

平面力偶系的合成与平衡
10cm C 12cm D


F2
30º
P
A
F1
d
O 6cm B
4 F'R= 0, MO=0
原力系平衡。
综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力；
2 一个力偶；
3 平衡。
例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着 有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最终合成结果。
3力偶作用面的方位。 力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转 向为正，反之为负。
力偶矩与力对点之矩 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶 矩,而与矩心无关 M(F,F') = +Fd F' F MO(F') +MO(F) O = -Fx + F'(x +d) d = +Fd x = M(F,F') 由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与 必要条件是:两力偶之矩相等。
d
力偶: 大小相等, 方向相反,不共线的两 个力所组成的力系。
F A d (F, F' )
●力偶臂：d
●力偶作用面：力偶中两 力作用线所决定的平面
力 偶 实 例
F1
F2
力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； ●力偶的单位：Nm或kNm
2 在力偶作用面内，力偶的转向；
y F2 60° B F3
A
2m
解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：
F1
F4 30° 3m
C x
O
x Fx F2 cos60 F3 F4 cos30 0.598kN FR
y Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 FR 3 1 1 2 3 0.768kN 2 2
◐ 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来 分析另一种常见约束------固定端约束的反力。
卡盘
遮雨蓬
简图：
FA MA A FAy MA FAx
固定端约束反力有三个分量：两个正交反力， 一个反力偶
◐ 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或 与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在 一点上。例如，道路给轮子的力等。 几种分布荷载 (1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。 荷载单位
(c)
(F'1， F'2 ，„ ， F'n）
Fi Fi FR
平面汇交力系 主矢量
(M1， M2 ，„ ， Mn）
平面力偶系