习题127
1下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1xx2
解因为 不恒为常数所以xx2是线性无关的
(2x2x
解因为 所以x2x是线性相关的
(3e2x3e2x
解因为 所以e2x3e2x是线性相关的
(4exex
解因为 不恒为常数所以exex是线性无关的
(5cos2xsin2x
解因为 不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程xy2yxy0的
线性无关解从而 是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程xy2yxyex的特解
因此 是方程xy2yxyex的通解
(6yC1exC2exC3cosxC4sinxx2(C1、C2、C3、C4是任意常
数是方程y(4yx2的通解
解令y1exy2exy3cosxy4sinxy*x2因为
因此yC1exC2exC3cosxC4sinxx2是方程y(4yx2的通解
提示
令k1exk2exk3cosxk4sinx0
则k1exk2exk3sinxk4cosx0
k4sinx0
k1exk2exk3sinxk4cosx0
上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为
所以方程组只有零解即y1exy2exy3cosxy4sinx线性无关
3验证 及 都是方程y4xy(4x22y0的解
并写出该方程的通解
解因为
并且 不恒为常数所以 与 是方程的线性无关解
从而方程的通解为
提示
4验证
(1 (C1、C2是任意常数是方程
y3y2ye5x
的通解
解令y1exy2e2x 因为
y13y12y1ex3ex2ex0
y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0
y1(4y1exex0
y2(4y2exex0
y3(4y3cosxcosx0
y4(4y4sinxsinx0
并且
所以y1exy2exy3cosxy4sinx是方程y(4y0的线性无关解
从而YC1exC2exC3cosxC4sinx是方程的通解
又因为
y*(4y*0(x2x2
所以y*x2是方程y(4yx2的特解
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y3y2y0的线
性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程y3y2ye5x的特解
因此 是方程y3y2ye5x的通解
(2 (C1、C2是任意常
数是方程y9yxcosx的通解
解令y1cos3xy2sin3x 因为
y19y19cos3x9cos3x0
解因为 不恒为常数所以eaxebx是线性无关的
2验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解并写
出该方程的通解
解因为
y12y12cosx2cosx0
y22y22sinx2sinx0
并且 不恒为常数所以y1cosx与y2sinx是方程的
线性无关解从而方程的通解为yC1cosxC2sinx
提示y1 sinxy12cosx y2 cosxy12sinx
x2y13xy14y1x223x2x4x20
x2y23xy24y2x2(2lnx33x(2xlnxx4x2lnx0
且 不恒为常数所以y1与y2是方程x2y3xy4y0的线性
无关解从而yC1x2C2x2lnx是方程的通解
(4 (C1、C2是任意常数是方程
x2y3xy5yx2lnx
的通解
解令y1x5 因为
x2y13xy15y1x220x33x5x45x50
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程x2y3xy5y0的
线性无关解从而 是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程x2y3xy5yx2lnx的特解
因此 是方程x2y3xy5yx2lnx的通解
(5 (C1、C2是任意常数是方程
xy2yxyex
的通解
解令 因为
y29y29sin3x9sin3x0
且 不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y9y0的线
性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解
又因为
所以y*是方程y9yxcosx的特解
因此 是方程y9yxcosx
的通解
(3yC1x2C2x2lnx(C1、C2是任意常数是方程x2y3xy4y0
的通解
解令y1x2y2x2lnx因为
(6
解因为 不恒为常数所以 是线性无关的
(7sin2xcosxsinx
解因为 所以sin2xcosxsinx是线性相关的
(8excos2xexsin2x
解因为 不恒为常数所以excos2xexsin2x是
线性无关的
(9lnxxlnx
解因为 不恒为常数所以lnxxlnx是线性无关的
(10eaxebx(ab