Zp2
ω2，D=0.1
结论五：增加弹簧静挠度（即 采用较软的弹簧装置），有 利于降低系统振动加速度数 值，改善机车车辆运行品质。
ω1，D=0.1
0
ω1
ω2
p(=2πV/L)
20
§4 液压减振器和摩擦减振器的吸振性能比较
注意：在共振点附近评价 从运动学方面考虑，对液压减振器来说，其阻尼值D可由共振点处的 振幅增幅系数γ与相对阻尼系数D间的关系求得： 1 D= 2 γ 2 −1 而从能量守恒方面考虑，阻尼选择原则为：欲使共振时振幅不至∞， 而保持某一值Zt，则必须保证在共振时（p=ω），系统每振动一周， 使减振器吸收的功=激扰力所做的功。
第九章 机车车辆垂向动力学
1

研究目的
选择合适的结构参数、悬挂参数和减振参数→ 以保证城轨车辆运行平稳、对线路及车辆本身 的动作用力较小。
垂向振动研究内容 ¾ 固有振动——求知固有频率w，以确定共振时的机车车辆 临界速度； ¾ 强迫振动——求知需要的阻尼和迫振振幅、迫振加速度， 以确知机车车辆运行平稳程度及其对线路的动作用力。
ap t 2
T zt zt t
Z =− ap t cos pt 2
21
0 z
t 时 刻
1.
激扰力在振动一个周期内所作的功A激扰
A激扰 = ∫ F激扰 ⋅ V激扰 ⋅ dt
0 T
而 F激扰 = ka sin pt V激扰 = Z = p 为什么？因为： apt ； 2 ②令Z t为t时刻达到的车体振幅，则在t时刻附近的一个周期内，
q c = 2Mω = 2 M ⋅ k — —临界阻尼系数 （就是系统不发生自振时的阻尼系数）
于是，可以定义相对阻尼率
β q q D= = = qc 2 Mω ω
14
B.
结论二：在小阻尼情况下（即D≤0.3），阻尼对自振频率影响很 小，此时ω’≈ω。 自振频率 ω ' = ω 2 − β 2 = ω 1 − D 2 当阻尼很小时
4.
讨论
A. 强迫振动的振幅增幅（扩大）系数
强迫振动振幅Z 强 γ= = 激扰幅a p
(ω
ω 4 + (2βpa ) 2
2
−p
2 2
)
+ (2βp) 2 代入上式得：
q β = 令 频率比η = ，阻尼系数D = ω 2 Mω ω 1 + 4 D 2η 2 γ= 2 1 − η 2） + 4 D 2η 2 （
••
•
(
)
15
③
特解二——Z强2
由 z + 2 β z + ω 2 z = 2 βpa cos pt 设 Z 强 2 = C cos( pt − ϕ 2 ) 代入上式得： C= 2 βpa
2
••
•
(ω
−p
2 2
)
+ ( 2 β p )2
, tgϕ 2 =
2 βp ω 2 − p2
可见 ϕ1 = ϕ 2 ，令ϕ1 = ϕ 2 = ϕ
方程的解
由高等数学可得上述微分方程的解为:
z = A cos ωt + B sin ωt
式中：A、B——积分常数，取决于初始条件。
5.
分析
系统的固有圆频率为：
ω=
k = Mபைடு நூலகம்
g f0
(式中：f 0 =
Mg — —弹簧静挠度) k
与该系统本身弹性刚度k及惯性质量M有关，与初始条件无关。 系统的固有频率为：
Ω=
1 ω = 2π 2π
g 1 ≈ f0 2 f0
( Hz )
4
§2 具有一系簧的无阻尼车轮荷重系统的受迫振动
1. 激扰源
来自钢轨变形及接头下沉，简化后的表达式为：
z k = a sin pt 其中：p = 2π v L 而：v — —机车车辆运行速度； L — —单根钢轨长度； a — —振幅（对高速线路a = 3～ 5mm； 好线路a ≈ 7mm；其他线路a ≈ 12mm）。
1 + 4D 2 此时令 η = 1，则有 γ = 4D 2 而 D << 1时 ⇒ 4 D 2 << 1 ∴ γ ≈ 1 1 ⇒ D ≈ 4D 2 2γ
18
结论三：液压减振器除用来衰减自振外，可用来控制共振时的振幅， 即可适当选择阻尼D来限制共振振幅。 B. 强迫振动的动力作用 对Z强取二次导数得：
12
••
•
13
A.
由此可得下述两个结论： 结论一：自振振幅 Ae − βt 随时间按等比级数衰减。 自振振幅随着时间增长而衰减，经过一个周期后，振幅比为：
Z t0
Ae − βt0 βT 2πβ / ω ' = =e =e − β ( t 0 +T ) Z t1 Ae
现在来看看，当ω’=0时，情况怎样？ 如果ω’=0，即ω=β=q/(2M)，则该系统就不会产生自振。 此时的q是一个特殊的值，用qc表示，即
•
apt sin pt = pZ t sin pt 2
①共振时，振动规律为Z = −
振动规律为Z = − Z t cos pt；
③t时刻的一个周期内车体振动速度 Z = pZ t sin pt
因此，A激扰 = ∫ (ka sin pt ) ⋅ ( Z t p sin pt ) ⋅ dt = πkaZ t
3.
在共振点处，为使振幅不增加，必须使A激=A减
于是有 πkaZ t = πqZ t2 p ⇒q= ⇒D= ka k = pZ t pγ (Q γ = Zt ) a
q q k 1 1 = = = ( 与从运动学得出的公式 D = 比较) 2 2 qc 2 Mp 2 Mp γ 2γ 2 γ −1 上式在相对阻尼率D很小的情况下成立，因这里没有计入减振力本 身引起的挠度变化。
β=
q ≈ 0 ⇒ 1− D2 ≈ 1 ⇒ ω ' ≈ ω 2M
②
特解一——Z强1
由 z + 2 β z + ω 2 z = aω 2 sin pt 设 Z 强1 = B sin( pt − ϕ1 ) 代入得： B= 2 βp , tgϕ1 = 2 2 2 2 2 2 ω − p ω − p + ( 2 βp ) aω 2
••
3.
①
则有 z + 2 β z + ω 2 z = aω 2 sin pt + 2 βp cos pt 方程的解
齐次解Z齐：
••
•
由 z + 2 β z + ω 2 z = 0 解得： Z 齐 = Ae − βt sin( ω ' t + α ) 其中：ω ' = ω 2 − β 2 — —有阻尼时的固有频率； A，α均由初始条件决定。
L zk
a a
pt
5
2.
系统动力学模型及受力分析
平衡 位置0 车体及转向架 质量：M X z M M 弹簧 刚度k K(z-zk)
Mz
••
Z zk zk x
6
3. 运动方程
M z + k( z − zk ) = 0 k 令：ω = M
2
••
则有
4. 方程的解
••
z + ω 2 z = aω 2 sin pt
Z 强 = − Zp 2 cos( pt − ϕ − ε )
强迫振动的加速度幅增幅（扩大）系数
2 2 1 4 Zp 2 Z 2 D η + 2 2 δ= η γη η = = = (1 − η 2 ) 2 + 4 D 2η 2 aω 2 a
••
可见：①当η = 2 时，δ = 2；
②当η > 2 时， ⇒ D ↑→ δ ↑ ，即阻尼增加，加速度也增大；
B aω 2 k tgε = tg = tg = tg C 2 βpa qp
16
⑤
方程的通解——z
z = Z 齐 + Z 强 = Ae − βt sin(ω 't + α ) + Z cos( pt − ϕ − ε ) 其中 Ae − βt sin(ω 't + α )随时间而衰竭，在此不对其进行讨论。
23
4.
摩擦减振器在振动一个周期内所吸收的功A摩
A摩 = 4 F ⋅ Z t 由 A摩 = A激 ∴F = 可得
0 F F Z F Zt
⇒ 4 F ⋅ Z t = πkaZ t
π
4 4 由此可得：为了保证共振时的振幅为一定值， 对于摩擦减振器必须满足： F πka πa ≥ = P 4kf 0 4 f 0 ( f 0 — —弹簧静挠度)
由高等数学可得上述微分方程的解为:
⎛ p⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠ 其中：第一项A cos ωt + B sin ωt为自由振动的解； a 而第二项 sin pt为强迫振动的解。 2 ⎛ p⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠
z = A cos ωt + B sin ωt +
a
2
sin pt
7
5. 分析讨论
① ② 强迫振动频率与激扰频率p（p=2πv/L）相同 迫振振幅随频率比η=p/ω而定（当然与a有关）
迫振振幅 1 1 振幅增幅系数γ = = = (令η = p / ω ) 2 2 激扰幅a 1 − ( p / ω ) 1 −η
③ 当η=p/ω=1时， γ 共振产生，振幅越来越达，直至无穷，但需要 一定时间。 而当 η = p / ω ≥ 2 时，迫振振幅≤激扰幅a。 防止共振 由p=ω得，机车车辆运行的临界速度
由此可见：
17
① ②
③ ④
在η=p/ω很小时，阻尼对γ的影响 不大； 当η=1时，阻尼对γ的影响很大， 当D=0时， γ→∞；当D=0.2时， γ≈2.6；当D=0.3时， γ≈2.0； 可通过适当设计阻尼D以抑制共振 振幅。 当η＞ 2 时，阻尼D越大，则振幅 γ也较大； 当阻尼D很小时。可利用γ=f(η)来 求D值。