《概率论与数理统计》习题二答案《概率论与数理统计》习题及答案习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3，4，5,在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为２.设在1５只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取１只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求： (１） X 的分布律；（2） Ｘ的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<．【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（２） 当x <0时，F (x ）＝P (X ≤x )=０当０≤x <1时，F (x )＝P (X ≤x )=Ｐ（Ｘ=0)=2235当1≤x <２时，F （x ）=P (Ｘ≤ｘ）=P （Ｘ=0）＋P （X =1)=3435当x ≥2时，F (x )=P （Ｘ≤x ）＝1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3)1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0,1，2,３.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==４．（１） 设随机变量X 的分布律为P ｛X ＝k ｝＝!k akλ，其中ｋ=0，1,2，…，λ＞０为常数，试确定常数ａ. (２） 设随机变量Ｘ的分布律为P {Ｘ=k }=a/N , k =1,2，…,N ，试确定常数ａ.【解】(1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.５.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.６,0.7,今各投3次，求: （1) 两人投中次数相等的概率； (2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b (3，０.６),Ｙ~b (3,0.7)(1） ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=+＋22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=（2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=０.2４36．设某机场每天有２０0架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0．０1(每条跑道只能允许一架飞机降落）？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则Ｘ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥９．故机场至少应配备9条跑道．7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001，在某天的该时段内有100０辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理）?【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b （1000，０.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.已知在五重贝努里试验中成功的次数Ｘ满足P {Ｘ=1}=Ｐ{X ＝2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为ｐ，则1422355C (1)C (1)p p p p -=-故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， (１） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率; （2) 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Ｘ~6（5,0．3)5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑（2) 令Ｙ表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b （7，０.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10．某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（１） 求某一天中午１２时至下午3时没收到呼救的概率； (2） 求某一天中午12时至下午５时至少收到１次呼救的概率. 【解】（１)32(0)eP X -== （２) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-１1.设P {X =ｋ｝＝kk kp p --22)1(C ， k =0，1,2P {Y =m }＝mmmp p --44)1(C ， m =０，1，2,3,4分别为随机变量Ｘ,Y 的概率分布，如果已知Ｐ{Ｘ≥1}=59,试求P ｛Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=． 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===- 故得 24(1),9p -=即 1.3p = 从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12．某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.００1,试求在这20０0册书中恰有5册错误的概率.【解】令Ｘ为20００册书中错误的册数,则X~b (２000,0.０01).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13．进行某种试验，成功的概率为34,失败的概率为14.以Ｘ表示试验首次成功所需试验的次数,试写出Ｘ的分布律,并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 14．有２500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.0０2，每个参加保险的人在1月1日须交1２元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取２000元赔偿金.求: （1) 保险公司亏本的概率;(2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1） 在1月１日,保险公司总收入为２5０0×12=3000０元. 设1年中死亡人数为X ，则X ～b (2５00,0.002),则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=ｎp =5,故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2） P （保险公司获利不少于1０000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于１００00元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20００0)(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为６2％15.已知随机变量X 的密度函数为ｆ（x ）=A e -｜x ｜， -∞＜x <+∞,求:（１）Ａ值;(2）Ｐ{0<X ＜1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. （２) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(３) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时,0||0111()e d e d e d 222xx x xx F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始１5０小时内没有电子管损坏的概率； (２） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F (x ). 【解】(1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(２） 1223124C ()339p ==(3) 当x <1０0时Ｆ（x ）=0当x ≥10０时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 17．在区间[０，a ］上任意投掷一个质点,以X 表示这质点的坐标，设这质点落在[0，a ]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数． 【解】 由题意知X ~∪［0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <０时F (x ）=０ 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xxF x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x ＞ａ时,F （x ）＝1 即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ １8.设随机变量X 在［2，5］上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于３的概率. 【解】X ~Ｕ[2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 1９.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟计）服从指数分布1()5E ．某顾客在窗口等待服务，若超过１0分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1｝. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走．第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服从N （40,1０2)；第二条路程较长,但阻塞少，所需时间X 服从Ｎ（50,42）． （1) 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些? （2） 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】(１） 若走第一条路,X ～N (40,102）,则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路,X~N （５0，42),则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X ～N (４0，10２)，则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X ～N (50,42),则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.２1.设X ～N (３,２2），(1) 求P {２<X ≤５}，Ｐ{-４<X ≤10｝,P {|X |>２｝，P {X >3}; (2) 确定c 使Ｐ{X ＞c }＝Ｐ{X ≤c }. 【解】(1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- （2) c ＝322．由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ～Ｎ(1０.05,0.062），规定长度在1０．０５±0.１2内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时)服从正态分布Ｎ(1６0,σ２），若要求P {120<Ｘ≤20０=≥0.8，允许σ最大不超过多少? 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （ｘ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ,B ；（2) 求P {X ≤２}，Ｐ{X ＞３}; (３) 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2) 2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e)e P X F λλ-->=-=--=（３) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩2５.设随机变量Ｘ的概率密度为ｆ(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数Ｆ(x )，并画出ｆ(x )及F （ｘ)．【解】当ｘ<0时F （ｘ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰01011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量Ｘ的密度函数为（1) f (ｘ)＝a ｅ-|x |，λ＞０;(2) f （x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx 试确定常数a ,b ,并求其分布函数F (x )． 【解】(1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤０时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x ＞0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩（２) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即Ｘ的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当ｘ≤0时F （x ）=0 当０<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时Ｆ(x )=１ 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1)α=0．０1，求z α； （2）α=０．003,求z α，/2z α. 【解】（１) ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= (2) 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =的分布律.【解】Y 可取的值为0,1，4,91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29．设P ｛X =k }=(2）ｋ, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Ｙ的分布律． 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30．设X ~N （0,1)．(１) 求Y ＝e X 的概率密度；（2） 求Y ＝2X 2+１的概率密度； （３) 求Y =|Ｘ|的概率密度.【解】(1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当ｙ＞0时,()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()dyX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2）2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y ＞1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()dX f x x =故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ⎤⎛==+⎥⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>（3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y ＞0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U (0,1），试求:（1） Y =ｅX 的分布函数及密度函数; (2） Z ＝-2ｌn Ｘ的分布函数及密度函数. 【解】(１) (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当ｙ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤=即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(２) 由P （0<Ｘ＜1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时,()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时,()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e)2z z P X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩03２．设随机变量X 的密度函数为f （ｘ)=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤０时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<ｙ<1时,()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时,()1Y F y = 故Ｙ的密度函数为22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下:⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上（1)，(２),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。