第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题• 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径：
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B.
1 2
y = --x~ +x
（1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ）
（2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。
解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO.
若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO
设0P交抛物线的对称轴于A•点，显然AX2-1）
1
y = --x
二直线OP的解析式为2
一一x =一一x・ +
由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6
-JP(6,~3)
过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜.
二PB=OB,HBOP* 二BPO、
ZOPB0与匚BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该
抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.
例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c.
（1）求A、B、C三点的坐标.
（2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G,
使以A、M. G
三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标;
解：（1）令尸°,得»-1=0 解得“±1
令x=o,得〉‘=一1
二A（70）B（I，°）c（°，j）
（2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45
ZAPZCB, E Z PAB=45
过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形
令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0
::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3
1 1 1 「1
———x2xl + —x2x3 = 4
二四边形ACBP的而积S = 2 A B・OC+ 2 A B・PE=2 2
(3).假设存在
二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC
ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90
在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中，
AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1)
□点M在y轴左侧时，贝0VT
图2
AG MG
（I）当A AMG S A pc A时，有PA = CA
一加一1 _ m2 -1
匸AG= 一〃7一1, MG=" jR卩3血迈
2
解得（舍去）・3 （舍去）
AG MG
（匚）当AMAG s A PC A 时有C4 =PA
一〃2-1 _ nr -1
即V2 3近解得：m = -\（舍去）rt1i =-
二M（-2,3）
二点M在歹轴右侧时，则加>i
AG MG
（匚）当△AMG s A PC A 时有PA = CA
=AG=〃?+I, MG=〃『j
m + \ _ m2一1 4
二3© 迈解得叫=一1 （舍去）~ 3
（±?）
ZM 3 9
AG MG
（匚）当A M AGS ApCA 时有CA = PA
m +1 _ nr -1
即41 3>/2
解得：-（舍去）叫"
二M（4,⑸
二存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与APCA相似
M点的坐标为（-2‘3）,（亍6）, （4,⑸练习：如图，已知抛物线yF+bx+c与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C, D为0C的中点，直线交抛物线于点E (2, 6),且ZU恥与3C的而积之比为3 ：2.
(1)求直线和抛物线的解析式：
(2)抛物线的对称轴与尤轴相交于点F,点Q为直线上一点，且3Q与厶3尸相似，求出点Q 点的坐标.
【随堂练】: ________ 班级： ________
1.已知抛物线）=-，+伽-2）兀-3加的顶点在_＞，轴上，那么加的值等于_______________ .
1 3
2•如图，已知二次函数y=--x2+-x + 4的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,
4 2
其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
（1）_______________ 点A的坐标为__________ ，点C的坐标为 :
（2）线段AC上是否存在点E,使得AEDC与△AOC相似?若存在，求岀所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由：
3.抛物线加+ °的图象如图所示，已知该抛物线与X轴交于A、3两点，顶点为C
（1,4）,
（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；（2）求直线与y轴交点D的坐标：
（3）点P是直线上的一点，且与ADOB相似.求点P的坐标.。