2010考研数学二真题及答案一、选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--= A0 B1 C2 D3详解：222111)(xx x x x f +--=有间断点1,0±=x 20201111)1)(1()1()(lim limlim x x x x x x x x f x x x +=+-+-=→→→，所以0=x 为第一类间断点221121)(lim 1=+=→x f x ，所以1=x 为连续点 ∞=+-+-=-→-→21111)1)(1()1()(limlim xx x x x x f x x ，所以1-=x 为无穷间断点。

所以选择B 。

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ详解：因21uy y -λ是0)(=+'y x P y 的解，故0))(()2121=-+'-uy y x P uy y λλ（ 所以0)())((2211=+'-+'uy y u y x P y λ 而由已知q y x P y q y x P y =+'=+'2211)(,)( 所以0)()(=-x q u λ又21uy y +λ是非齐次)()(x q y x P y =+'的解； 故)())(()(2121x q uy y x P uy y =++'+λλ所以)()()(x q x q u =+λ 所以21==u λ。

3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De详解：因2x y =与)0(ln ≠=a x a y 相切，故212a x xa x =⇒⋅= 在2x y =上，2a x =时，2ln 212lnaa a a y == 在)0(ln ≠=a x a y 上，2ax =时，2ln a a y =2ln 21a a = 所以选择C4.设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性A 仅与m 取值有关B 仅与n 取值有关C 与,m n 取值都有关D 与,m n 取值都无关 详解：dx xx m dx xx m dx xx m nnn⎰⎰⎰-+-=-1212210212)1(ln )1(ln )1(ln ，其中dx xx m n⎰-2102)1(ln 在0=x 是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性与n 有关，而dx xx m n⎰-1212)1(ln 在1=x 是瑕点，由于0)1(ln )1(21lim =---→nx xx m x δ，其中δ是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意m ，都有dx xx m n⎰-1212)1(ln 收敛，与m 无关。

故选B 。

5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= A x B z C x - D z -详解：221222211)()(F x zF x y F xF x z F x y F FF y zzx '⋅'+⋅'=⋅'-'+-'-=''-=∂∂，6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= A 1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ C 11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ D 112001(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰详解：∑∑∑∑==∞→==∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅+=++n i nj x n i nj x n j n n i n nj n i n n11221122)(1)1())((lim lim7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 详解：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以)()(II r I r ≤，即s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα 若向量组I 线性无关，则r r r =),,(1αα ，所以s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα ，即s r ≤，选（A ）。

8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 详解：设λ为A 的特征值，由于,02=+A A 所以02=+λλ，即0)1(=+λλ， 这样A 的特征值为-1或0。

由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即Λ-A ，,3)()(=Λ=r A r因此，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=Λ0111，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=Λ0111~A 。

二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________详解：022=-'+''-'''y y y y ，对应方程为,02223=-++λλλ0)2()2(2=-+-λλλ，0)1)(2(2=+-λλ，2=λ，i ±=λ所以通解为x C x C e C x sin cos 3221++10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________详解：21222lim =+∞→x x x x ， 0122221223323lim lim =+--=-+∞→∞→x x x x x x x x x ，所以x y 2= 11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在 详解：由麦克劳林展开有：()(),!21)1(1n n nn x n f x n ⋅=-⋅--()()!02n f n n n =-，()()()!120--=n f n n 12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθe r =≤≤ 详解：π≤≤x 0，θe r =。

13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 详解：设()(),,t y w t x l ==由题意知，在0t t =时刻()120=t x ，()50=t y ，且()()3,200='='t y t x ， 又 ()()()t y t x t S 22+=， 所以 ()()()()()()()t y t x t y t y t x t x t S 22+'+'='所以 ()()()()()()()351235212220202000=+⋅+⋅=+'+'='t y t x t y t y t x t x t S14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则 详解：由于()()A B B AB E B B A A +=+=+----1111，所以 因为,2=B 所以2111==--B B ，因此32123111=⨯⨯=+=+---B B A A B A 。

三解答题15.的单调区间与极值。

求函数⎰--=2212)()(x t dt e t x x f16.(1)比较10ln [ln(1)]nt t dt +⎰与10ln (1,2,)n t t dt n =⎰的大小,说明理由.(2)记10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞17.设函数y=f(x)由参数方程。

求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1(2)()1(),(,2222t t dx y d t t t y t t x ψψψψψ+=='⎩⎨⎧=->=+= 18.一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b 的椭圆。

现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b 23时，计算油的质量。

（长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为3/m kg ρ）19.20.}.40,sec 0),(D ,2cos 1sin 22πθθθθθθ≤≤≤≤=-=⎰⎰r r drd r r I D｛其中计算二重积分21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1,21(),21,0(22ηξηξηξ+='+'∈∈f f 使得22.的通解。

求方程组、）求（个不同的解。

存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)2(.12.11,110111λλλλ23.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(61，求a 、Q. 答案：BACD BDAD9.x C x C e C x sin cos 3221++ 10.y=2x 11.)!1(2-⋅-n n 12.)1(2-πe 13.3cm/s 14. 3 三解答题 15.16.17 .).123)(,0,25)1(.23)(3)().1(3)(,0,6)().3)(1(])1(3[),1(3t 11),().1(3)(t11)()143)1(4)()()1(,)143)1(4)()()1()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222->+===++=+=+='=='=++=+⎰+⎰=+=+-''=+='+-''+=+'-''++=+'-''+=++'-''+=∴+'=⎰⎰=+-+t t t t C C t t dt t t t t t t C t uC t t C dt et eu t u u t u t t t t t t t t t dx y d t t t t t t t t t dx y d t t dx dy t dtt dtt （于是知由于是知由有设从而，，（故（由题设ψψψψψψψψψψψψψψψ18解：19解：55105252,22,252.0)4125(5.222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-==∂∂++∂∂=∂∂=∂∂b a b a b u b b a u y u x u 故，由（ηη20.21. 22. 23.。