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版初中数学类型一：面积问题
重庆2021年中考数学专题二次函数（新题型）
1、（西附初
2020 九上十二月周考）已知抛物线y =ax2 +b +c 经过点A(-1, 0)，且经过直线y =x - 3
与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）将直线BC 向左平移27
个单位，与抛物线交于点E、F，与x 轴交于点G，求△BEF 的面积。
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2、（巴蜀初2020 九下自主测试二）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =a (x + 1)(x- 3)与x 轴
交于点A、B（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C (0, - 3 )，连接BC。
（1）求a 的值及直线BC 的解析式；
（2）如图，点D 为直线BC 下方抛物线上动点，过D 作DE⊥BC 于点E，过D 作直线DF⊥x 轴
于点F，交BC 于点G，若S
∆DEG : S
∆BFG
= 1: 4 ，求点D 的坐标。
3、（八中初2020 九下定时练习四）如图，抛物线y =ax2 +bx + 6 经过点A(-2, 0), B (4, 0)两点，与y 轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m，连接AC，BC，DB，DC。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的3
时，求点D 的坐标。
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点，与y 轴交于点C，且OA =OC 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 是抛物线顶点，求△ACD 的面积；
（3）如图2，射线AE 交抛物线于点E，交y 轴的负半轴于点F（点F 在线段AE 上），点P 是直
线AE 下方抛物线上的一点，当S
∆ABE =
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时，求△APE 面积的最大值和此时点P 的坐标。
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C (0, -3) 三点，直线l 是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点 M 是直线上的一个动点，当点 M 到点 A ，点 C 的距离之和最短时，求点 M 的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点 N ，使 S
理由。
∆ABN
= 4
S 3
∆ABC
，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明
6、（西附初2020 九上期末）如图，对称轴为直线x = 1 的抛物线y =x2 +bx +c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接AC、AD，其中A 点坐标(-1, 0)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y =3
x - 3 与抛物线交于点C，D，与x 轴交于点E，求△CD 的面积；2
（3）在直线CD 下方抛物线上有一点Q，过Q 作QP⊥y 轴交直线CD 于点P，四边形PQBE 为平行四边形，求点Q 的坐标。
7、（一中初2020 九上期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2 +bx + 4 与x 轴交于点A(-2, 0), B (8, 0)，与y 轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；
（2）连接AC，BC，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点，连接PC、PB，若有S 求出点P 的横坐标；∆PBC
=
1
S
2∆ABC
，
（3）若将抛物线沿直线AC 方向移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L 满足当1 ≤x ≤ 3 时，有最大值为0，直接写出抛物线L 的对称轴。
类型二：角度问题
1、（融侨南开初2020 九上期末）如图1，抛物线y =-x2 +bx +c 与x 轴交于点A、点B，与y 轴交于点C (0,3)，对称轴为直线x = 1 ，交x 轴于点D，顶点为点E。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，CE，AE，求△ACE 的面积；
（3）如图2，点F 在y 轴上，且OF = 2 ，点N 是抛物线在第一象限内一动点，且在抛物线对称轴右侧，连接ON 交对称轴于点G，连接GF，若GF 平分∠OGE，求点N 的坐标。
2、（一外初2020 九上期末）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C 两点的坐标分
别为A(6, 0),C (3, 0)，直线y =-3
x +
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与BC 边相交于点D。
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（1）求点D 的坐标；
（2）若抛物线y =ax2 +bx (a ≠ 0)经过A，D 两点（如图1），且点N (1, n)在该抛物线上，求四边形ADCN 的面积；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交点M（如图2），点P 为对称轴上一动点，若∠ADP =∠ADB ，求符合条件的所有点P 的坐标。
3、（巴蜀初2020 九上期末复习四）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-x2 +bx +c 与x 轴相交于原点O 和点B (4, 0)，点A(3, m)在抛物线上。
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求tan ∠OAB 的值；
（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果∠BAD = 45︒，求点D 的坐标。
4、（巴蜀初2020 九上周考七）若二次函数y =ax2 +bx +c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3, 0)、
B (0, 2)，且过点
C (2, -2)。
（1）求二次函数表达式；
= 4 ，求点P 的坐标；
（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且S
∆PBA
（3）在AB 下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO =∠ABM ，若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由。
5、8、（八中初2020 九下定时练习三）如图1，抛物线y =ax2 +bx + 3 与x 轴交于点A(-1, 0)、点B 与y 轴交于点C，顶点为点D，且D 的横坐标为1，对称轴交x 轴于点E，交BC 于F。
（1）求顶点D 的坐标；
（2）如图2，过点C 的直线交直线BD 于点M，交抛物线于点N。
①若直线CM 将△BCD 分成的两部分面积分成2 :1 的两部分，求点M 的坐标；
②若∠NCB =∠DBC ，求点N 的坐标。
6、（巴蜀初2020 九上期末）如图1，若二次函数y =ax2 +bx +c 的图像与x 轴交于点A(1, 0), B ，与y 轴交于点C (0, 4)，连接AC、BC，且抛物线的对称轴为直线x =3 。
2
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P 是抛物线在一象限内BC 上方一动点，且点P 在对称轴的右侧，连接PB、PC，是否
存在点P，使S
∆PBC =
3
S
5∆ABC
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，且满足∠QBC = 45︒-∠ACO ，请直接写出点Q 坐标。
7、（巴蜀初2020 九上期末复习三）如图，抛物线y =ax2 +bx +c 经过点B (4, 0), C (0, -2)，对称轴为直线x = 1 ，与x 轴的另一个交点为点A。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 从点A 出发，沿AC 向点C 运动，速度为1 个单位长度/秒，同时点N 从点B 出发，沿BA 向点A 运动，速度为2 个单位长度/秒，当点M、N 有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AMN 的面积S 最大，并求出S 的最大值；
（3）在y 轴上是否存在点P，使得∠BPC =1
∠BCO ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请2
说明理由。
8、（巴蜀初 2020 九下自主测试三）如图，抛物线 y = ax 2 + 2x + c (a < 0) 与 x 轴交于点 A 和点 B （点
A 在原点的左侧，点
B 在原点的右侧），与 y 轴交于点
C , OB = OC = 3 。
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图 1，连接 BC ，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD ，CD ，OD 交 BC 于点 F ， 当 S ∆COF : S ∆CDF = 3 : 2 时，求点 D 的坐标；
（3）如图 2，点 E 的坐标为⎛ 0, - 3 ⎫ ，在抛物线上是否存在点 P ，使∠OBP = 2∠OBE ？若存在，
2 ⎪
⎝ ⎭
请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。