y 1y2yn
n C N n
总体中每个特定的单元y i 在不同的样本
中出现的次数为C
n1 N 1
。
y 1
n
y 1 y 2 y n n 1 C N n 1 1iN 1 Y i
N
Ey CN nyCN nn 11 Ci N n1Yi N 1iN 1Yi Y
7
证 由于每个单元出现在总体所有可能样本
Yy,
E (y),
2
V (y)
n
（3）根据上述样本数据，如何估计？
性 质 ： E (s 2 )2 , v (y ) s 2 (y ) s 2 n
3
3.1 概述
一、简单随机抽样（或单纯随机抽样） 本书一般局限于不放回随机抽样
二、实施方法 三、地位、作用
是其他抽样方法基础 精度较高 但，样本比较分散（局限性）
nn 1 E (a ia j) p (a i 1 & a j 1 ) N (N 1 )
C o v (i,j) E ( a ia j) E ( a i) E ( a j) N n ( 1 N n ) N n 2
1 n(1n) N1N N
13
V ( y ) n 1 2 V iN 1i Y i n 1 2 iN 1 Y i2 V ( a i) iN 1 j N iY i Y jC o v ( a i,a j)
n (n 1 )
E i j(y i Y )(y j Y ) N (N 1 )i j(Y i Y )(Y j Y )
E
(y i Y )(y j Y ) 中 求 和 是 对 n (n 1 )2 项 ，
i j
( Y i Y ) ( Y j Y ) 中 求 和 是 对 N ( N 1 )2 项 .
i j
11
V y n 1 2 E i n 1 (y i Y )2 n 1 2 E i j(y i Y ) (y j Y ) n 1 2N n iN 1 ( Y i Y ) 2 n 1 2N n ( (n N 1 1 ))i j( Y i Y ) ( Y j Y )
n 1 N iN 1(Y i Y )2N n 1 1ij(Y i Y )(Y j Y )
N n 1 1iN 1(Y i Y )2N n 1 1iN 1(Y i Y )2 n 1 N 1 N n 1 1 iN 1(Y i Y )2 N n 1 1 iN 1(Y i Y ) 2 n 1 N N N n 1 i N 1 ( Y i Y ) 2 n 1 N N n N 1 1 i N 1 ( Y i Y ) 2
5
3.2 总体均值与总量的简单估计
一、总体均值的估计 1.简单估计及其无偏性：
在没有其他总体信息的条件下，
y
1 n
n i1
yi来估计Y
1 N
N
Yi
i1
这种估计即是简单估计
性 质 1： E (y)Y
6
证 对于固定的有限总体，估计量的期望是
法 一
对所有可能样本求平均得到的，因此
E yC N n y
NnS21f S2
nNn12 Nhomakorabea 引进N个随机变量：
证 法 二
1, ai 0,
若 若 Y Y ii入 不 样 入 ， 样 ， i1,2,,N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
n
P(ai
1)
; N
Nn
P(ai 0)
; N
V (a i) E (a i2 ) E (a i) 2 N n N n 2 N n (1 N n )
第三章 简单随机抽样
1
例:从某个总体抽取一个n=50的独立同分布样本， 样本数据如下：
567 601 665 732 366 937 462 619 279 287
690 520 502 312 452 562 557 574 350 875
834 203 593 980 172 287 753 259 276 876
10
证明性质2
证 法 一
V y E y Y 2 E n 1 i n 1 y i Y 2 n 1 2 E i n 1 (y i Y ) 2
n 1 2E i n 1(y i Y )2 n 1 2E i j(y i Y )(y j Y )
Ei n1(yiY)2N niN 1(YiY)2
2.估计量的方差 一般定义，有限总体的方差为： 性 质 2 ： 对 s .r .s ， V ( y ) N n S 2 1 fS 2 n N n
说明：总体方差 2E (Y iY)2N 1iN 1(Y iY)2
但为了使大多数情形下公式表达更简练，定义总 体方差为：
S2N 1 1iN 1(Y iY)2N N 1 2
692 371 887 641 399 442 927 442 918 11
178 416 405 210 58 797 746 153 644 476 （1）计算样本均值与样本方差。 （2）若用 y 估计总体均值μ，按数理统计结果，
是否无偏，并写出它的方差表达式。 （3）根据上述样本数据，如何估计？ （4）假定的分布是近似正态的，试分别给出总体
法 二
中的次数相同，因此 E y 1 y 2 y n
一定是 Y 1 Y 2 Y N 的倍数，且这个倍
数就是 n N ，
E yn 1E i n 1yi n 1N niN 1Y iY
n
N
Eyi cYi
i1
i1
取Yi = Y0
则，nY0cNY0
cn. N
8
证 法
引进N个随机变量：
三
1, ai 0,
均值 的置信度为95%的近似置信区间。
2
（1）计算样本均值与样本方差。
y n 1 i n 1 y i,s 2 n 1 1 i n 1 ( y i y ) 2 n 1 1 ( i n 1 y i 2 n y 2 )
（2）若用 y 估计总体均值μ，按数理统计结果，是否
无偏，并写出它的方差表达式。
若 若 Y Y ii入 不 样 入 ， 样 ， i1,2,,N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
n
P(ai
1)
; N
P(ai
0)Nn; N
n N n n
E (a i)1N 0NN (
抽样比
f
)
又因，
y
1 n
N i 1
aiYi
因此，
1N
1N
E (y)ni1Y iE (ai)Ni1Y i Y.
9